河海大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
9．计算极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt[3]{x^{3}+2 x^{2}+1}-\sqrt[5]{x^{5}+3 x^{4}-2}\right)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别极限类型并提取主要项
原式为 $\sqrt[3]{x^{3}+2 x^{2}+1}-\sqrt[5]{x^{5}+3 x^{4}-2}$，当 $x \to +\infty$ 时，两项均趋于 $+\infty$，属于 $\infty-\infty$ 型。将每个根号内提取 $x$ 的最高次幂：
第一项：$\sqrt[3]{x^{3}+2 x^{2}+1} = x \sqrt[3]{1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}}}$
第二项：$\sqrt[5]{x^{5}+3 x^{4}-2} = x \sqrt[5]{1 + \frac{3}{x} - \frac{2}{x^{5}}}$
公式：$\sqrt[3]{x^3+2x^2+1}=x\sqrt[3]{1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^3}}$，$\sqrt[5]{x^5+3x^4-2}=x\sqrt[5]{1+\frac{3}{x}-\frac{2}{x^5}}$
提示：提取主要项时，注意根指数与幂次的关系，确保提取后括号内趋于1。
步骤 2/4
目标：对第一项进行泰勒展开
利用 $(1+u)^{1/3} = 1 + \frac{1}{3}u - \frac{1}{9}u^2 + \cdots$，其中 $u = \frac{2}{x} + \frac{1}{x^3}$。保留到 $\frac{1}{x}$ 项：
$\sqrt[3]{x^3+2x^2+1} = x\left[1 + \frac{1}{3}\left(\frac{2}{x} + \frac{1}{x^3}\right) + O\left(\frac{1}{x^2}\right)\right]$
化简得：$= x + \frac{2}{3} + O\left(\frac{1}{x}\right)$
公式：$(1+u)^{1/3}=1+\frac{1}{3}u+O(u^2)$，$u=\frac{2}{x}+\frac{1}{x^3}$
提示：展开时注意 $u$ 中最低阶为 $1/x$，因此 $u^2$ 项为 $O(1/x^2)$，不影响 $1/x$ 阶的精度。
步骤 3/4
目标：对第二项进行泰勒展开
利用 $(1+v)^{1/5} = 1 + \frac{1}{5}v - \frac{2}{25}v^2 + \cdots$，其中 $v = \frac{3}{x} - \frac{2}{x^5}$。保留到 $\frac{1}{x}$ 项：
$\sqrt[5]{x^5+3x^4-2} = x\left[1 + \frac{1}{5}\left(\frac{3}{x} - \frac{2}{x^5}\right) + O\left(\frac{1}{x^2}\right)\right]$
化简得：$= x + \frac{3}{5} + O\left(\frac{1}{x}\right)$
公式：$(1+v)^{1/5}=1+\frac{1}{5}v+O(v^2)$，$v=\frac{3}{x}-\frac{2}{x^5}$
提示：注意 $v$ 中 $\frac{2}{x^5}$ 是高阶小量，展开时只需保留 $\frac{3}{x}$ 项。
步骤 4/4
目标：作差并求极限
将两项的展开式相减：
$\left(x + \frac{2}{3} + O\left(\frac{1}{x}\right)\right) - \left(x + \frac{3}{5} + O\left(\frac{1}{x}\right)\right) = \frac{2}{3} - \frac{3}{5} + O\left(\frac{1}{x}\right)$
计算常数差：$\frac{2}{3} - \frac{3}{5} = \frac{10}{15} - \frac{9}{15} = \frac{1}{15}$
当 $x \to +\infty$ 时，$O\left(\frac{1}{x}\right) \to 0$，因此极限为 $\frac{1}{15}$。
公式：$\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+2x^2+1}-\sqrt[5]{x^5+3x^4-2}\right)=\frac{1}{15}$
提示：作差时 $x$ 项抵消，常数项差即为极限值，注意 $O(1/x)$ 项在取极限时趋于0。
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