河海大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
7．叙述判定函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 关于 $x$ 在集合 $D$ 上一致收敛的 Cauchy 收敛原理．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：明确一致收敛的定义基础
函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 在集合 $D$ 上一致收敛，等价于其部分和函数列 $S_n(x) = \sum_{k=1}^{n} u_k(x)$ 在 $D$ 上一致收敛。
公式：S_n(x) = \sum_{k=1}^{n} u_k(x)
提示：注意区分逐点收敛与一致收敛，一致收敛要求对任意 $x \in D$ 同时成立。
步骤 2/4
目标：回忆函数列一致收敛的Cauchy准则
函数列 $\{S_n(x)\}$ 在 $D$ 上一致收敛当且仅当：对任意 $\varepsilon > 0$，存在正整数 $N$，使得当 $m > n > N$ 时，对所有 $x \in D$，都有 $|S_m(x) - S_n(x)| < \varepsilon$。
公式：|S_m(x) - S_n(x)| < \varepsilon, \quad \forall x \in D
提示：Cauchy准则的核心是部分和之间的差可以任意小，且与 $x$ 无关。
步骤 3/4
目标：将Cauchy准则转化为级数形式
注意到 $S_m(x) - S_n(x) = \sum_{k=n+1}^{m} u_k(x)$，代入Cauchy准则即得级数的一致收敛条件。
公式：S_m(x) - S_n(x) = \sum_{k=n+1}^{m} u_k(x)
提示：这里 $m > n$，求和从 $n+1$ 到 $m$，不要混淆下标。
步骤 4/4
目标：叙述函数项级数一致收敛的Cauchy收敛原理
函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 在集合 $D$ 上一致收敛，当且仅当对任意 $\varepsilon > 0$，存在正整数 $N$，使得当 $m > n > N$ 时，对一切 $x \in D$，都有 $\left| \sum_{k=n+1}^{m} u_k(x) \right| < \varepsilon$。
公式：\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall m > n > N, \forall x \in D: \left| \sum_{k=n+1}^{m} u_k(x) \right| < \varepsilon
提示：这是判定一致收敛的重要理论工具，常用于证明非一致收敛。
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