浙江大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
1．设 $\displaystyle x_{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{n+n}, n \in \mathbb{Z}^{+}$，求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将和式改写为便于求极限的形式
将每一项 $\frac{1}{n+k}$ 写成 $\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1+\frac{k}{n}}$，则整个和式为：
$$x_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1+\frac{k}{n}}$$
公式：$$x_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1+\frac{k}{n}}$$
提示：注意将分母中的 $n+k$ 提取公因子 $n$，以便与定积分形式对应。
步骤 2/5
目标：识别黎曼和形式
观察 $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1+\frac{k}{n}}$，它对应于函数 $f(t)=\frac{1}{1+t}$ 在区间 $[0,1]$ 上的黎曼和，其中分割点为 $t_k = \frac{k}{n}$（右端点）。因此，当 $n \to \infty$ 时，该和收敛到定积分。
公式：$$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(t) \, dt$$
提示：确认 $f(t)$ 在 $[0,1]$ 上连续，从而黎曼和极限存在。
步骤 3/5
目标：转化为定积分
由黎曼和的定义，极限转化为定积分：
$$\lim_{n\to\infty} x_n = \int_0^1 \frac{1}{1+t} \, dt$$
公式：$$\lim_{n\to\infty} x_n = \int_0^1 \frac{1}{1+t} \, dt$$
提示：注意积分区间为 $[0,1]$，对应 $k/n$ 从 $0$ 到 $1$。
步骤 4/5
目标：计算定积分
计算积分：
$$\int_0^1 \frac{1}{1+t} \, dt = \left[ \ln(1+t) \right]_{0}^{1} = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2$$
公式：$$\int_0^1 \frac{1}{1+t} \, dt = \ln 2$$
提示：注意 $\ln 1 = 0$，结果化简为 $\ln 2$。
步骤 5/5
目标：得出极限值
因此，所求极限为 $\ln 2$。
公式：$$\lim_{n\to\infty} x_n = \ln 2$$
提示：最终结果是一个常数，与 $n$ 无关。
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