📝 浙江大学 2026年数学分析真题

1．设 $\displaystyle x_{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{n+n}, n \in \mathbb{Z}^{+}$，求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ．

2．设 $f(x)$ 在区间 $(0,2)$ 上可导，且 $f(1)=f^{\prime}(1)=0, f^{\prime \prime}(1)=2$ ，求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x f^{\prime}(x)}{x f^{\prime}(x)-f(x)}$ ．

3．设 $\displaystyle x_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{2}(n x)}{\sin x} \mathrm{~d} x, n \in \mathbb{Z}^{+}$，求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{\ln n}$ ．

4．设 $S$ 是 $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ 介于 $z=0$ 与 $z=1$ 之间的部分，并取外侧为正向，计算第二型曲面积分

$$
\iint_{S}(x-2 y+z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y-2 z+x) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(z-2 x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$

七．（15 分）设 $\displaystyle \lambda \geq 1$ ，定义 $\displaystyle I(\lambda)=\int_{0}^{1} \cos \left(\lambda x^{2}\right) \mathrm{d} x$ ，证明：存在与 $\displaystyle \lambda$ 无关的常数 $\displaystyle c>0$ ，使得 $\displaystyle |I(\lambda)| \leq \frac{c}{\sqrt{\lambda}}$ ．

三．（10 分）证明：设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上只有第一类间断点，则 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [0,1]$ 上的有界函数．

九．（10 分）证明：函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sin n x}{n \ln n}$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续．

二．（15 分）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x\left(1-x^{2}\right), & x \in \mathbb{Q}, \\ x\left(1+x^{2}\right), & x \notin \mathbb{Q} .\end{array}\right.$ 请讨论 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的连续性与可导性（需说明理由）．

五．（15 分）证明：函数 $\displaystyle y=\ln x$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，其中 $\displaystyle a>0$ ，但在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上不一致连续．

八．（15 分）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 是区间 $\displaystyle (0,1)$ 上的有界函数，定义

$$
\varphi(x)=\sup _{t \in(0,1)}(f(t)+\sqrt{x} g(t)), x \in(0,1)
$$

证明：存在常数 $\displaystyle C \geq 0$ ，使得对任意 $\displaystyle x, y \in(0,1)$ ，有 $\displaystyle |\varphi(x)-\varphi(y)| \leq C \sqrt{|x-y|}$ ．

六．（15 分）设 $\displaystyle a_{1}>0, a_{2}>0$ ，定义 $\displaystyle a_{n+2}=\sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_{n}}, n=1,2, \cdots$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ ．

四．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0$ ，若 $\displaystyle \min _{x \in[0,1]} f(x)=-1$ ，证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi) \geq 8$ ．