浙江大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
四．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0$ ，若 $\displaystyle \min _{x \in[0,1]} f(x)=-1$ ，证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi) \geq 8$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设最小值点并利用极值条件
由于 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且最小值为 $-1$，故存在 $c \in (0,1)$ 使得 $f(c) = -1$。又因为 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内可导，$c$ 为极小值点，所以 $f'(c) = 0$。
公式：$f(c) = -1$, $f'(c) = 0$
提示：最小值点可能在区间内部，由极值必要条件得导数为0。
步骤 2/5
目标：在最小值点处对端点0进行泰勒展开
对 $x=0$ 在 $c$ 处用带拉格朗日余项的泰勒公式展开到二阶：
$$f(0) = f(c) + f'(c)(0-c) + \frac{f''(\xi_1)}{2}(0-c)^2,$$
其中 $\xi_1$ 介于 $0$ 与 $c$ 之间。代入 $f(0)=0$, $f(c)=-1$, $f'(c)=0$ 得：
$$0 = -1 + \frac{f''(\xi_1)}{2} c^2,$$
整理得 $f''(\xi_1) = \frac{2}{c^2}$。
公式：$f''(\xi_1) = \frac{2}{c^2}$
提示：注意泰勒展开的余项形式，$\xi_1$ 在0与c之间。
步骤 3/5
目标：在最小值点处对端点1进行泰勒展开
对 $x=1$ 在 $c$ 处用带拉格朗日余项的泰勒公式展开到二阶：
$$f(1) = f(c) + f'(c)(1-c) + \frac{f''(\xi_2)}{2}(1-c)^2,$$
其中 $\xi_2$ 介于 $c$ 与 $1$ 之间。代入 $f(1)=0$, $f(c)=-1$, $f'(c)=0$ 得：
$$0 = -1 + \frac{f''(\xi_2)}{2} (1-c)^2,$$
整理得 $f''(\xi_2) = \frac{2}{(1-c)^2}$。
公式：$f''(\xi_2) = \frac{2}{(1-c)^2}$
提示：注意 $\xi_2$ 在c与1之间，与第一步的展开对称。
步骤 4/5
目标：分情况讨论c的位置以得到所需不等式
若 $c \leq \frac{1}{2}$，则 $c^2 \leq \frac{1}{4}$，从而 $f''(\xi_1) = \frac{2}{c^2} \geq \frac{2}{1/4} = 8$，取 $\xi = \xi_1$ 即满足条件。
若 $c \geq \frac{1}{2}$，则 $1-c \leq \frac{1}{2}$，从而 $f''(\xi_2) = \frac{2}{(1-c)^2} \geq \frac{2}{1/4} = 8$，取 $\xi = \xi_2$ 即满足条件。
公式：$\frac{2}{c^2} \geq 8$ 或 $\frac{2}{(1-c)^2} \geq 8$
提示：分情况讨论时注意c的范围，确保分母足够小。
步骤 5/5
目标：得出结论
综上，无论最小值点 $c$ 在 $[0,1]$ 的哪一侧，总存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $f''(\xi) \geq 8$。命题得证。
公式：$\exists \xi \in (0,1), f''(\xi) \geq 8$
提示：结论中$\xi$可能是$\xi_1$或$\xi_2$，取决于c的位置。
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