浙江大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
2．设 $f(x)$ 在区间 $(0,2)$ 上可导，且 $f(1)=f^{\prime}(1)=0, f^{\prime \prime}(1)=2$ ，求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x f^{\prime}(x)}{x f^{\prime}(x)-f(x)}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析已知条件并确定展开阶数
已知 $f(1)=0$, $f'(1)=0$, $f''(1)=2$。由于一阶导数为零，函数在 $x=1$ 附近的行为主要由二阶项决定，因此考虑使用泰勒展开到二阶。
公式：$f(1)=0$, $f'(1)=0$, $f''(1)=2$
提示：注意 $f'(1)=0$ 意味着线性项消失，必须展开到二阶才能得到非零近似。
步骤 2/6
目标：将 $f(x)$ 在 $x=1$ 处泰勒展开
由泰勒公式，当 $x \to 1$ 时：
$$f(x) = f(1) + f'(1)(x-1) + \frac{f''(1)}{2}(x-1)^2 + o((x-1)^2)$$
代入已知值得：
$$f(x) = 0 + 0 + \frac{2}{2}(x-1)^2 + o((x-1)^2) = (x-1)^2 + o((x-1)^2)$$
公式：$f(x) = (x-1)^2 + o((x-1)^2)$
提示：余项 $o((x-1)^2)$ 表示比 $(x-1)^2$ 更高阶的无穷小，在极限计算中可暂时保留。
步骤 3/6
目标：将 $f'(x)$ 在 $x=1$ 处泰勒展开
对导数展开：
$$f'(x) = f'(1) + f''(1)(x-1) + o(x-1)$$
代入已知值得：
$$f'(x) = 0 + 2(x-1) + o(x-1) = 2(x-1) + o(x-1)$$
公式：$f'(x) = 2(x-1) + o(x-1)$
提示：这里 $o(x-1)$ 是比 $(x-1)$ 高阶的无穷小，注意与 $f(x)$ 展开的余项阶数不同。
步骤 4/6
目标：计算分子 $x f'(x)$ 的近似表达式
将 $x = 1 + (x-1)$ 代入：
$$x f'(x) = [1 + (x-1)] \cdot [2(x-1) + o(x-1)]$$
展开得：
$$= 2(x-1) + 2(x-1)^2 + o((x-1)^2)$$
公式：$x f'(x) = 2(x-1) + 2(x-1)^2 + o((x-1)^2)$
提示：注意 $x \cdot o(x-1) = o(x-1)$，但为了与分母统一阶数，需保留到 $(x-1)^2$ 项。
步骤 5/6
目标：计算分母 $x f'(x) - f(x)$ 的近似表达式
代入分子和 $f(x)$ 的展开：
$$x f'(x) - f(x) = [2(x-1) + 2(x-1)^2 + o((x-1)^2)] - [(x-1)^2 + o((x-1)^2)]$$
化简得：
$$= 2(x-1) + (x-1)^2 + o((x-1)^2)$$
公式：$x f'(x) - f(x) = 2(x-1) + (x-1)^2 + o((x-1)^2)$
提示：合并同类项时注意 $2(x-1)^2 - (x-1)^2 = (x-1)^2$，不要遗漏。
步骤 6/6
目标：求极限并化简
将分子分母代入极限表达式：
$$\frac{x f'(x)}{x f'(x) - f(x)} = \frac{2(x-1) + 2(x-1)^2 + o((x-1)^2)}{2(x-1) + (x-1)^2 + o((x-1)^2)}$$
提取公因式 $2(x-1)$（$x \neq 1$ 时非零）：
$$= \frac{2(x-1)\left[1 + (x-1) + o(x-1)\right]}{2(x-1)\left[1 + \frac{1}{2}(x-1) + o(x-1)\right]} = \frac{1 + (x-1) + o(x-1)}{1 + \frac{1}{2}(x-1) + o(x-1)}$$
当 $x \to 1$ 时，$(x-1) \to 0$，高阶项 $o(x-1) \to 0$，因此极限为：
$$\frac{1 + 0}{1 + 0} = 1$$
公式：$\lim_{x \to 1} \frac{x f'(x)}{x f'(x) - f(x)} = 1$
提示：约去公因子 $2(x-1)$ 时需确保 $x \neq 1$，这在极限过程中是允许的。最后代入 $x=1$ 时注意分子分母都趋于1。
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