浙江大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
二．（15 分）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x\left(1-x^{2}\right), & x \in \mathbb{Q}, \\ x\left(1+x^{2}\right), & x \notin \mathbb{Q} .\end{array}\right.$ 请讨论 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的连续性与可导性（需说明理由）．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确函数定义与连续性分析思路
函数 $f(x)$ 根据 $x$ 是否为有理数分段定义：当 $x \in \mathbb{Q}$ 时，$f(x)=x(1-x^2)=x-x^3$；当 $x \notin \mathbb{Q}$ 时，$f(x)=x(1+x^2)=x+x^3$。由于有理数和无理数在实数中稠密，在任意点 $x_0$ 附近既有有理数也有无理数。因此，$f(x)$ 在 $x_0$ 连续的必要条件是：当 $x$ 沿有理数趋近 $x_0$ 和沿无理数趋近 $x_0$ 时，两个表达式趋于同一个值，且等于 $f(x_0)$。
公式：\lim_{x\to x_0, x\in\mathbb{Q}} f(x) = \lim_{x\to x_0, x\notin\mathbb{Q}} f(x) = f(x_0)
提示：注意稠密性：任何点附近都同时存在有理数和无理数，因此必须考虑两个路径的极限。
步骤 2/7
目标：求解两个表达式相等的条件
令两个表达式相等：$x_0 - x_0^3 = x_0 + x_0^3$。化简得 $-x_0^3 = x_0^3$，即 $2x_0^3 = 0$，解得 $x_0 = 0$。因此，仅在 $x_0=0$ 处两个表达式相等，此时 $f(0)=0$。
公式：x_0 - x_0^3 = x_0 + x_0^3 \Rightarrow 2x_0^3 = 0 \Rightarrow x_0 = 0
提示：不要忘记检查 $x_0=0$ 时函数值是否与极限一致。
步骤 3/7
目标：验证 $x=0$ 处的连续性
当 $x \to 0$ 时，无论 $x$ 是有理数还是无理数，$x(1 \pm x^2) \to 0$，因此 $\lim_{x\to 0} f(x) = 0$。而 $f(0)=0$（因为 $0$ 是有理数），所以极限等于函数值，$f(x)$ 在 $x=0$ 处连续。
公式：\lim_{x\to 0} f(x) = 0 = f(0)
提示：注意 $0$ 是有理数，代入有理数表达式计算函数值。
步骤 4/7
目标：讨论 $x \neq 0$ 处的连续性
对于任意 $x_0 \neq 0$，取有理数列 $\{r_n\} \to x_0$，则 $f(r_n) = r_n - r_n^3 \to x_0 - x_0^3$；取无理数列 $\{s_n\} \to x_0$，则 $f(s_n) = s_n + s_n^3 \to x_0 + x_0^3$。由于 $x_0 \neq 0$ 时 $x_0 - x_0^3 \neq x_0 + x_0^3$，极限不存在，故 $f(x)$ 在 $x_0$ 处不连续。
公式：\lim_{x\to x_0, x\in\mathbb{Q}} f(x) = x_0 - x_0^3 \neq x_0 + x_0^3 = \lim_{x\to x_0, x\notin\mathbb{Q}} f(x)
提示：不连续点处极限不存在，因此不可导。
步骤 5/7
目标：分析可导性：确定可能可导的点
可导性要求函数在该点连续。由连续性讨论可知，仅在 $x=0$ 处连续，因此只有 $x=0$ 可能可导。其他点因不连续而必然不可导。
公式：可导 \Rightarrow 连续，逆否命题：不连续 \Rightarrow 不可导
提示：不要忘记可导的必要条件是连续。
步骤 6/7
目标：用导数定义验证 $x=0$ 处的可导性
计算导数定义：$f'(0) = \lim_{x\to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{x}$（因为 $f(0)=0$）。当 $x\in\mathbb{Q}$ 时，$\frac{f(x)}{x} = 1 - x^2 \to 1$；当 $x\notin\mathbb{Q}$ 时，$\frac{f(x)}{x} = 1 + x^2 \to 1$。两个路径的极限均为 $1$，故极限存在且为 $1$。因此 $f'(0)=1$，在 $x=0$ 处可导。
公式：f'(0) = \lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{x} = 1
提示：注意 $f(0)=0$，差商化简后要分别考虑有理数和无理数路径。
步骤 7/7
目标：总结连续性与可导性结论
综上所述，$f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上仅在 $x=0$ 处连续且可导，导数为 $f'(0)=1$；在其余点处不连续，因而也不可导。
公式：\text{连续点与可导点：} x=0, \quad f'(0)=1
提示：结论要明确：连续性和可导性只在一点成立。
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