浙江大学 2026年数学分析第0题

假设数列收敛到极限 $L$，则当 $n \to \infty$ 时，$a_n, a_{n+1}, a_{n+2}$ 都趋近于 $L$。代入递推式 $a_{n+2} = \sqrt{a_{n+1}} + \sqrt{a_n}$ 得 $L = 2\sqrt{L}$。两边平方得 $L^2 = 4L$，解得 $L = 0$ 或 $L = 4$。由于 $a_1 > 0, a_2 > 0$，数列为正，故极限可能为 $0$ 或 $4$。

取 $K = \max\{a_1, a_2, 4\}$。当 $K \geq 4$ 时，有 $2\sqrt{K} \leq K$。用数学归纳法：假设 $a_n \leq K$ 且 $a_{n+1} \leq K$，则 $a_{n+2} = \sqrt{a_{n+1}} + \sqrt{a_n} \leq 2\sqrt{K} \leq K$。因此所有项 $a_n \leq K$，数列有上界。

假设 $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$，则存在 $N$ 使得当 $n \geq N$ 时 $a_n < 1$。此时 $\sqrt{a_n} > a_n$，故 $a_{n+2} = \sqrt{a_{n+1}} + \sqrt{a_n} > a_{n+1} + a_n$，数列不会单调递减到0。更严格地，若 $a_n$ 和 $a_{n+1}$ 都小于 $\varepsilon$，则 $a_{n+2} > \sqrt{\varepsilon}$，而 $\sqrt{\varepsilon} \gg \varepsilon$ 当 $\varepsilon$ 很小时，因此数列会被“拉回”，不可能趋于0。故极限只能为4。

令 $d_n = |a_n - 4|$。由 $a_{n+2} - 4 = (\sqrt{a_{n+1}} - 2) + (\sqrt{a_n} - 2)$ 及 $\sqrt{x} - 2 = \frac{x-4}{\sqrt{x}+2}$，得 $|a_{n+2} - 4| \leq \frac{|a_{n+1}-4|}{\sqrt{a_{n+1}}+2} + \frac{|a_n-4|}{\sqrt{a_n}+2}$。由于 $a_n > 0$，分母 $\geq 2$，故 $|a_{n+2} - 4| \leq \frac{1}{2}(|a_{n+1}-4| + |a_n-4|)$。令 $M_n = \max\{|a_n-4|, |a_{n+1}-4|\}$，则 $|a_{n+2} - 4| \leq M_n$，且 $M_{n+1} = \max\{|a_{n+1}-4|, |a_{n+2}-4|\} \leq M_n$，即 $M_n$ 单调不增且有下界0，故 $M_n \to 0$，从而 $a_n \to 4$。

综合以上步骤，数列 $\{a_n\}$ 有上界，且误差序列单调递减趋于0，因此数列收敛，极限为 $4$。