浙江大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
3．设 $\displaystyle x_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{2}(n x)}{\sin x} \mathrm{~d} x, n \in \mathbb{Z}^{+}$，求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{\ln n}$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：化简被积函数，拆分积分
利用三角恒等式 $\sin^2(nx) = \frac{1 - \cos(2nx)}{2}$，将积分拆分为两个部分：
$$x_n = \int_0^{\pi/2} \frac{1 - \cos(2nx)}{2\sin x} \, dx = \frac12 \int_0^{\pi/2} \frac{1}{\sin x} \, dx - \frac12 \int_0^{\pi/2} \frac{\cos(2nx)}{\sin x} \, dx.$$
公式：$$\sin^2(nx) = \frac{1 - \cos(2nx)}{2}$$
提示：注意第一个积分在 $x=0$ 附近发散，但后续会与第二个积分抵消发散部分，不要单独处理。
步骤 2/6
目标：将积分转化为有限和形式
利用恒等式 $\frac{1 - \cos(2nx)}{2\sin x} = \sum_{k=1}^{n} \sin((2k-1)x)$，该恒等式可通过和差化积或数学归纳法证明。于是：
$$x_n = \int_0^{\pi/2} \sum_{k=1}^{n} \sin((2k-1)x) \, dx = \sum_{k=1}^{n} \int_0^{\pi/2} \sin((2k-1)x) \, dx.$$
公式：$$\frac{1 - \cos(2nx)}{2\sin x} = \sum_{k=1}^{n} \sin((2k-1)x)$$
提示：此恒等式是解题关键，注意验证 $n=1$ 时左右两边相等。
步骤 3/6
目标：计算内层积分，得到奇数倒数之和
计算 $\int_0^{\pi/2} \sin((2k-1)x) \, dx$：
$$\int_0^{\pi/2} \sin((2k-1)x) \, dx = \left[-\frac{\cos((2k-1)x)}{2k-1}\right]_0^{\pi/2} = \frac{1 - \cos((2k-1)\pi/2)}{2k-1}.$$
由于 $\cos((2k-1)\pi/2) = 0$，所以积分值为 $\frac{1}{2k-1}$。因此：
$$x_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2k-1}.$$
公式：$$\int_0^{\pi/2} \sin((2k-1)x) \, dx = \frac{1}{2k-1}$$
提示：注意 $\cos((2k-1)\pi/2)=0$ 对任意整数 $k$ 成立，这是关键简化。
步骤 4/6
目标：用调和数表示奇数倒数和
调和数 $H_n = \sum_{j=1}^n \frac{1}{j}$。前 $2n$ 个调和数包含所有奇数和偶数项：
$$H_{2n} = \sum_{j=1}^{2n} \frac{1}{j} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2k-1} + \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2k}.$$
而偶数项和为 $\frac12 H_n$，因此：
$$x_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2k-1} = H_{2n} - \frac12 H_n.$$
公式：$$x_n = H_{2n} - \frac12 H_n$$
提示：注意 $H_{2n}$ 和 $H_n$ 的关系，避免混淆下标。
步骤 5/6
目标：利用调和数的渐近展开
当 $n \to \infty$ 时，调和数的渐近展开为：
$$H_n = \ln n + \gamma + o(1), \quad H_{2n} = \ln(2n) + \gamma + o(1) = \ln n + \ln 2 + \gamma + o(1),$$
其中 $\gamma$ 为欧拉常数。代入 $x_n$ 表达式：
$$x_n = (\ln n + \ln 2 + \gamma) - \frac12(\ln n + \gamma) + o(1) = \frac12 \ln n + \ln 2 + \frac12 \gamma + o(1).$$
公式：$$H_n = \ln n + \gamma + o(1)$$
提示：渐近展开中 $o(1)$ 表示趋于0的项，在求极限时不影响结果。
步骤 6/6
目标：计算所求极限
将 $x_n$ 的渐近表达式代入极限：
$$\lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{\ln n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac12 \ln n + \ln 2 + \frac12 \gamma + o(1)}{\ln n} = \frac12.$$
公式：$$\lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{\ln n} = \frac12$$
提示：分子中 $\ln n$ 是主导项，常数项和 $o(1)$ 项除以 $\ln n$ 后趋于0。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。