浙江大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
三．（10 分）证明：设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上只有第一类间断点，则 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [0,1]$ 上的有界函数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析条件，明确第一类间断点的性质
因为函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上只有第一类间断点，这意味着在每一点 $x_0 \in [0,1]$，要么连续，要么左右极限都存在且有限（但可能不等于函数值或彼此不等）。
提示：注意第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点，其共同特征是左右极限均存在有限。
步骤 2/6
目标：反证法假设函数无界
假设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上无界。那么对于每个正整数 $n$，存在点 $x_n \in [0,1]$，使得 $|f(x_n)| > n$。
公式：|f(x_n)| > n
提示：无界的定义：对任意大的正数，都能找到函数值绝对值大于该数的点。
步骤 3/6
目标：利用Bolzano-Weierstrass定理构造收敛子列
数列 $\{x_n\}$ 是有界数列（都在 $[0,1]$ 中），由 Bolzano-Weierstrass 定理，存在一个收敛子列 $\{x_{n_k}\}$，设其极限为 $x_0 \in [0,1]$。
公式：x_{n_k} \to x_0 \quad (k \to \infty)
提示：闭区间上的无穷点列必有收敛子列，这是实数完备性的重要推论。
步骤 4/6
目标：利用第一类间断点的局部有界性
由于 $x_0$ 是第一类间断点或连续点，左右极限都存在有限。因此存在 $\delta > 0$，使得在邻域 $(x_0-\delta, x_0+\delta) \cap [0,1]$ 内，函数值有界。具体地：若 $x_0$ 为内点，则存在 $\delta>0$ 使得当 $x \in (x_0-\delta, x_0)$ 时 $|f(x)| \le |f(x_0^-)|+1$，当 $x \in (x_0, x_0+\delta)$ 时 $|f(x)| \le |f(x_0^+)|+1$，且 $f(x_0)$ 有限，故整个邻域内有界；若 $x_0=0$ 或 $1$，只需考虑单侧极限，同样可得局部有界。
公式：|f(x)| \le \max\{|f(x_0^-)|, |f(x_0^+)|, |f(x_0)|\} + 1
提示：极限有限保证了在充分接近的点处函数值不会无限增大，这是局部有界性的标准证明。
步骤 5/6
目标：导出矛盾
子列 $x_{n_k} \to x_0$，当 $k$ 充分大时，所有 $x_{n_k}$ 都落在上述邻域内。但由构造，$|f(x_{n_k})| > n_k \to \infty$，这与该邻域内有界矛盾。
公式：|f(x_{n_k})| > n_k \to \infty
提示：注意子列的下标 $n_k$ 也趋于无穷，因此函数值趋于无穷，与局部有界矛盾。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此假设不成立，$f(x)$ 在 $[0,1]$ 上必须有界。
提示：反证法完成，结论得证。
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