浙江大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
八．（15 分）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 是区间 $\displaystyle (0,1)$ 上的有界函数，定义
$$
\varphi(x)=\sup _{t \in(0,1)}(f(t)+\sqrt{x} g(t)), x \in(0,1)
$$
证明：存在常数 $\displaystyle C \geq 0$ ，使得对任意 $\displaystyle x, y \in(0,1)$ ，有 $\displaystyle |\varphi(x)-\varphi(y)| \leq C \sqrt{|x-y|}$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确函数定义与有界性条件
已知 $\varphi(x)=\sup_{t\in(0,1)}(f(t)+\sqrt{x}\,g(t))$，且 $f,g$ 在 $(0,1)$ 上有界，故存在常数 $M>0$ 使得对任意 $t\in(0,1)$ 有 $|f(t)|\le M$，$|g(t)|\le M$。
公式：|f(t)|\le M,\quad |g(t)|\le M,\quad \forall t\in(0,1)
提示：注意有界性常数 $M$ 可以取为 $\sup_{t\in(0,1)}\max\{|f(t)|,|g(t)|\}$。
步骤 2/5
目标：利用上确界定义构造不等式
对任意固定的 $x,y\in(0,1)$ 及任意 $\varepsilon>0$，存在 $t_1\in(0,1)$ 使得 $\varphi(x)\le f(t_1)+\sqrt{x}\,g(t_1)+\varepsilon$。同时由 $\varphi(y)$ 的定义有 $\varphi(y)\ge f(t_1)+\sqrt{y}\,g(t_1)$。两式相减得 $\varphi(x)-\varphi(y)\le (\sqrt{x}-\sqrt{y})g(t_1)+\varepsilon$。
公式：\varphi(x)-\varphi(y)\le (\sqrt{x}-\sqrt{y})g(t_1)+\varepsilon
提示：注意 $\varepsilon$ 的任意性，最后可令 $\varepsilon\to 0^+$。
步骤 3/5
目标：利用有界性得到一侧不等式
由于 $|g(t_1)|\le M$，且 $\varepsilon$ 可任意小，故 $\varphi(x)-\varphi(y)\le M|\sqrt{x}-\sqrt{y}|$。同理，交换 $x,y$ 的位置可得 $\varphi(y)-\varphi(x)\le M|\sqrt{x}-\sqrt{y}|$。
公式：|\varphi(x)-\varphi(y)|\le M|\sqrt{x}-\sqrt{y}|
提示：注意 $g(t_1)$ 可能为负，因此需用绝对值处理。
步骤 4/5
目标：估计 $|\sqrt{x}-\sqrt{y}|$ 与 $\sqrt{|x-y|}$ 的关系
不妨设 $x\ge y>0$，则 $(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2 = x+y-2\sqrt{xy} \le x-y$，因为 $x+y-2\sqrt{xy} - (x-y) = 2y-2\sqrt{xy}=2\sqrt{y}(\sqrt{y}-\sqrt{x})\le 0$。因此 $|\sqrt{x}-\sqrt{y}|\le \sqrt{|x-y|}$。
公式：|\sqrt{x}-\sqrt{y}|\le \sqrt{|x-y|}
提示：该不等式对任意 $x,y>0$ 成立，可直接平方验证。
步骤 5/5
目标：综合得到Hölder连续性
结合前两步，有 $|\varphi(x)-\varphi(y)|\le M\sqrt{|x-y|}$。取 $C=M$，即得所需结论。
公式：|\varphi(x)-\varphi(y)|\le C\sqrt{|x-y|},\quad C=\sup_{t\in(0,1)}\max\{|f(t)|,|g(t)|\}
提示：常数 $C$ 不依赖于 $x,y$，仅依赖于 $f,g$ 的有界性。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。