浙江大学 2026年数学分析第0题

函数 $f$ 在区间 $I$ 上一致连续，是指对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对 $I$ 中任意两点 $x_1, x_2$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta$，就有 $|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$。

在 $[a,+\infty)$ 上，$f(x)=\ln x$ 的导数为 $f'(x)=\frac{1}{x}$。由于 $x\ge a>0$，有 $|f'(x)|\le \frac{1}{a}$，即导数有界。由拉格朗日中值定理，对任意 $x_1,x_2\in[a,+\infty)$，存在 $\xi$ 介于 $x_1,x_2$ 之间，使得 $|\ln x_1-\ln x_2| = |f'(\xi)|\cdot|x_1-x_2| \le \frac{1}{a}|x_1-x_2|$。

对任意 $\varepsilon>0$，取 $\delta = a\varepsilon$。则当 $|x_1-x_2|<\delta$ 时，有 $|\ln x_1-\ln x_2| \le \frac{1}{a}|x_1-x_2| < \frac{1}{a}\cdot a\varepsilon = \varepsilon$。因此 $y=\ln x$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续。

要证明不一致连续，需找出一对点列，使得两点距离趋于 0，但函数值差不趋于 0。取 $x_n = e^{-n}$，$y_n = e^{-n-1}$，则 $|x_n - y_n| = e^{-n} - e^{-n-1} = e^{-n}(1-e^{-1}) \to 0$（当 $n\to\infty$）。而 $|\ln x_n - \ln y_n| = | -n - (-n-1) | = 1$，恒等于 1。

取 $\varepsilon = \frac{1}{2}$。对任意 $\delta>0$，由于 $|x_n-y_n|\to 0$，存在 $N$ 使得当 $n>N$ 时 $|x_n-y_n|<\delta$，但 $|\ln x_n-\ln y_n|=1 > \varepsilon$。因此不存在满足一致连续定义的 $\delta$，故 $y=\ln x$ 在 $(0,+\infty)$ 上不一致连续。