浙江大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
九．（10 分）证明：函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sin n x}{n \ln n}$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确要证明的结论
要证明函数 $f(x)=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n\ln n}$ 在 $x=0$ 处连续。由定义，$f(0)=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sin 0}{n\ln n}=0$，因此只需证明 $\lim_{x\to 0} f(x)=0$。
公式：f(0)=0
提示：注意级数在 $x=0$ 处每一项为0，所以 $f(0)=0$ 是显然的。
步骤 2/6
目标：分析一致收敛性的困难
由于 $\left|\frac{\sin(nx)}{n\ln n}\right| \le \frac{1}{n\ln n}$，但 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n\ln n}$ 发散（积分判别法），因此不能用 Weierstrass M-判别法在整个实数轴上得到一致收敛。需要针对 $x=0$ 的邻域进行精细估计。
公式：\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n\ln n} \text{ 发散}
提示：发散级数不能作为控制级数，必须另寻方法。
步骤 3/6
目标：将求和分成两部分进行估计
设 $M = \lfloor 1/|x| \rfloor$，将级数分为 $n \le M$ 和 $n > M$ 两部分。当 $|x|$ 很小时，$M$ 很大。
公式：M = \left\lfloor \frac{1}{|x|} \right\rfloor
提示：分界点的选择基于 $\sin(nx)$ 在小 $n$ 时的近似线性行为。
步骤 4/6
目标：估计第一部分（$n \le M$）
当 $n \le M$ 时，$|\sin(nx)| \le n|x|$，因此
\[
\left|\sum_{n=2}^{M} \frac{\sin(nx)}{n\ln n}\right| \le \sum_{n=2}^{M} \frac{n|x|}{n\ln n} = |x| \sum_{n=2}^{M} \frac{1}{\ln n}.
\]
由于 $\sum_{n=2}^{M} \frac{1}{\ln n} \sim \frac{M}{\ln M}$，所以上界约为 $|x| \cdot \frac{1/|x|}{\ln(1/|x|)} = \frac{1}{\ln(1/|x|)} \to 0$（当 $x\to 0$）。
公式：\left|\sum_{n=2}^{M} \frac{\sin(nx)}{n\ln n}\right| \le \frac{1}{\ln(1/|x|)}
提示：这里利用了 $\sin(nx) \approx nx$ 的放缩，注意 $M$ 的定义保证了 $n|x| \le 1$。
步骤 5/6
目标：估计第二部分（$n > M$）
当 $n > M$ 时，利用阿贝尔变换。令 $S_k(x) = \sum_{n=M+1}^{M+k} \sin(nx)$，则 $|S_k(x)| \le \frac{1}{|\sin(x/2)|} \le \frac{\pi}{|x|}$。由阿贝尔引理，对于递减正数列 $a_n = \frac{1}{n\ln n}$，有
\[
\left|\sum_{n=M+1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n\ln n}\right| \le 2 \cdot \frac{\pi}{|x|} \cdot \frac{1}{(M+1)\ln(M+1)}.
\]
由于 $M+1 > 1/|x|$，所以 $\frac{1}{(M+1)\ln(M+1)} \le \frac{|x|}{\ln(1/|x|)}$，代入得
\[
\left|\sum_{n=M+1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n\ln n}\right| \le \frac{2\pi}{\ln(1/|x|)} \to 0 \quad (x\to 0).
公式：\left|\sum_{n=M+1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n\ln n}\right| \le \frac{2\pi}{\ln(1/|x|)}
提示：阿贝尔引理中部分和的上界 $B$ 依赖于 $x$，但最终被分母的 $\ln(1/|x|)$ 抵消。
步骤 6/6
目标：综合两部分得到极限
由第4步和第5步，当 $x\to 0$ 时，两部分都趋于0，因此
\[
\lim_{x\to 0} f(x) = 0 = f(0).
\]
根据连续性的定义，函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续。
公式：\lim_{x\to 0} f(x) = f(0) = 0
提示：注意两部分估计中 $\ln(1/|x|)$ 在分母，确保极限为0。
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