浙江大学 2026年数学分析第0题

曲面 $S$ 是锥面 $x^2 + y^2 = z^2$ 介于 $z=0$ 与 $z=1$ 之间的部分，取外侧（即远离 $z$ 轴的方向）。由于直接投影计算较繁琐，考虑使用高斯公式，但曲面不封闭，需补上顶面构成封闭曲面。底面 $z=0$ 处锥面退化为一点，面积为零，可忽略。

补上顶面 $S_2: z=1,\ x^2+y^2 \le 1$，取法向向上（外侧）。封闭曲面为 $S \cup S_2$。设向量场 $\mathbf{F} = (P, Q, R)$，其中 $P = x - 2y + z,\ Q = y - 2z + x,\ R = z - 2x + y$。计算散度： $$\frac{\partial P}{\partial x} = 1,\quad \frac{\partial Q}{\partial y} = 1,\quad \frac{\partial R}{\partial z} = 1,$$ 故 $\nabla \cdot \mathbf{F} = 3$。由高斯公式，封闭曲面积分等于三重积分： $$\iint_{S \cup S_2} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_V 3\, dV,$$ 其中 $V$ 是锥体：$0 \le z \le 1,\ x^2+y^2 \le z^2$。

使用柱坐标：$x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta,\ z = z$，体积元 $dV = r\, dr\, d\theta\, dz$。积分区域：$0 \le \theta \le 2\pi$，$0 \le z \le 1$，对每个 $z$，$0 \le r \le z$。计算： $$\iiint_V 3\, dV = 3 \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{z=0}^1 \int_{r=0}^{z} r\, dr\, dz\, d\theta.$$ 先对 $r$ 积分：$\int_0^z r\, dr = \frac{z^2}{2}$。再对 $z$：$\int_0^1 \frac{z^2}{2}\, dz = \frac{1}{6}$。最后乘 $3$ 和 $2\pi$：$3 \cdot 2\pi \cdot \frac{1}{6} = \pi$。故封闭曲面积分为 $\pi$。

顶面 $S_2: z=1,\ x^2+y^2 \le 1$，法向向上 $(0,0,1)$。第二型曲面积分中，只有 $dxdy$ 项贡献（因为 $dz=0$）： $$\iint_{S_2} (z - 2x + y)\, dxdy.$$ 代入 $z=1$，被积函数为 $1 - 2x + y$。区域为单位圆盘，由对称性：$\iint x\, dxdy = 0$，$\iint y\, dxdy = 0$，$\iint 1\, dxdy = \pi \cdot 1^2 = \pi$。故顶面积分为 $\pi$。

由高斯公式：$\iint_{S \cup S_2} = \pi$，即 $\iint_S + \iint_{S_2} = \pi$。代入顶面积分 $\iint_{S_2} = \pi$，得： $$\iint_S = \pi - \pi = 0.$$ 因此原曲面积分结果为 $0$。