浙江大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
七．（15 分）设 $\displaystyle \lambda \geq 1$ ，定义 $\displaystyle I(\lambda)=\int_{0}^{1} \cos \left(\lambda x^{2}\right) \mathrm{d} x$ ，证明：存在与 $\displaystyle \lambda$ 无关的常数 $\displaystyle c>0$ ，使得 $\displaystyle |I(\lambda)| \leq \frac{c}{\sqrt{\lambda}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：变量替换，将积分化为标准形式
令 $t = x^2$，则 $x = \sqrt{t}$，$dx = \frac{1}{2\sqrt{t}} dt$，积分限从 $0$ 到 $1$。于是
\[
I(\lambda) = \int_0^1 \cos(\lambda x^2)\, dx = \int_0^1 \cos(\lambda t) \cdot \frac{1}{2\sqrt{t}}\, dt = \frac12 \int_0^1 \frac{\cos(\lambda t)}{\sqrt{t}}\, dt.
\]
公式：I(\lambda) = \frac12 \int_0^1 \frac{\cos(\lambda t)}{\sqrt{t}}\, dt
提示：注意 $t=0$ 处 $1/\sqrt{t}$ 是弱奇点，但可积。
步骤 2/5
目标：分部积分，分离出衰减因子
令 $u = \frac{1}{\sqrt{t}}$，$dv = \cos(\lambda t)\, dt$，则 $du = -\frac{1}{2 t^{3/2}}\, dt$，$v = \frac{\sin(\lambda t)}{\lambda}$。分部积分公式：
\[
\int_0^1 u\, dv = \left. u v \right|_{0}^{1} - \int_0^1 v\, du.
\]
计算边界项：在 $t=1$ 处，$u(1)v(1) = \frac{\sin \lambda}{\lambda}$；在 $t \to 0^+$ 处，$u(t)v(t) = \frac{1}{\sqrt{t}} \cdot \frac{\sin(\lambda t)}{\lambda} \sim \frac{1}{\sqrt{t}} \cdot t = \sqrt{t} \to 0$。因此边界项为 $\frac{\sin \lambda}{\lambda}$。代入得
\[
\frac12 \int_0^1 \frac{\cos(\lambda t)}{\sqrt{t}}\, dt = \frac12 \left( \frac{\sin \lambda}{\lambda} + \frac{1}{2\lambda} \int_0^1 \frac{\sin(\lambda t)}{t^{3/2}}\, dt \right).
\]
公式：I(\lambda) = \frac12 \left( \frac{\sin \lambda}{\lambda} + \frac{1}{2\lambda} \int_0^1 \frac{\sin(\lambda t)}{t^{3/2}}\, dt \right)
提示：注意 $du$ 的负号在代入时变为加号。
步骤 3/5
目标：变量替换处理新积分中的奇点
令 $u = \lambda t$，则 $t = u/\lambda$，$dt = du/\lambda$，积分限从 $0$ 到 $\lambda$。于是
\[
\int_0^1 \frac{\sin(\lambda t)}{t^{3/2}}\, dt = \int_0^\lambda \frac{\sin u}{(u/\lambda)^{3/2}} \cdot \frac{du}{\lambda} = \lambda^{1/2} \int_0^\lambda \frac{\sin u}{u^{3/2}}\, du.
\]
公式：\int_0^1 \frac{\sin(\lambda t)}{t^{3/2}}\, dt = \sqrt{\lambda} \int_0^\lambda \frac{\sin u}{u^{3/2}}\, du
提示：替换后 $\sin(\lambda t)$ 变为 $\sin u$，奇点被 $u^{3/2}$ 体现，但 $\sin u$ 在 $u=0$ 处提供因子 $u$ 消去奇性。
步骤 4/5
目标：估计新积分的有界性
将积分分为 $[0,1]$ 和 $[1,\lambda]$ 两部分估计：
\[
\left| \int_0^\lambda \frac{\sin u}{u^{3/2}}\, du \right| \leq \int_0^1 \frac{|\sin u|}{u^{3/2}}\, du + \int_1^\lambda \frac{1}{u^{3/2}}\, du.
\]
当 $u \in [0,1]$ 时，$|\sin u| \leq u$，故 $\int_0^1 \frac{u}{u^{3/2}}\, du = \int_0^1 u^{-1/2}\, du = 2$。当 $u \geq 1$ 时，$\int_1^\infty u^{-3/2}\, du = 2$。因此
\[
\left| \int_0^\lambda \frac{\sin u}{u^{3/2}}\, du \right| \leq 2 + 2 = 4.
\]
记 $M=4$，则 $\left| \int_0^1 \frac{\sin(\lambda t)}{t^{3/2}}\, dt \right| \leq 4 \sqrt{\lambda}$。
公式：\left| \int_0^1 \frac{\sin(\lambda t)}{t^{3/2}}\, dt \right| \leq 4 \sqrt{\lambda}
提示：注意 $\int_1^\infty u^{-3/2}\, du$ 收敛，且 $\lambda \to \infty$ 时积分上限不影响有界性。
步骤 5/5
目标：合并估计，得到最终不等式
由前两步，
\[
|I(\lambda)| \leq \frac12 \left( \frac{1}{\lambda} + \frac{1}{2\lambda} \cdot 4 \sqrt{\lambda} \right) = \frac12 \left( \frac{1}{\lambda} + \frac{2}{\sqrt{\lambda}} \right).
\]
由于 $\lambda \geq 1$，有 $\frac{1}{\lambda} \leq \frac{1}{\sqrt{\lambda}}$，因此
\[
|I(\lambda)| \leq \frac12 \left( \frac{1}{\sqrt{\lambda}} + \frac{2}{\sqrt{\lambda}} \right) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{\lambda}}.
\]
取常数 $c = \frac{3}{2}$，即得 $|I(\lambda)| \leq \frac{c}{\sqrt{\lambda}}$ 对所有 $\lambda \geq 1$ 成立。
公式：|I(\lambda)| \leq \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{\lambda}}
提示：常数 $c$ 可以取 $\frac{3}{2}$，但证明中只需存在性，不必最优。
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