浙江工业大学 2026年数学分析第4题
📝 题目
4、（20 分）设 $\displaystyle n \in \mathbb{N}_{+}$，计算不定积分 $\displaystyle I=\int \frac{1}{\left(1+x^{n}\right)^{n} \sqrt{1+x^{n}}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：合并分母中的幂次，简化被积函数
原积分分母为 $(1+x^n)^n \cdot \sqrt{1+x^n}$，由于 $\sqrt{1+x^n} = (1+x^n)^{1/2}$，所以分母可合并为 $(1+x^n)^{n+1/2}$。因此被积函数化为 $\frac{1}{(1+x^n)^{n+1/2}}$，即 $I = \int (1+x^n)^{-n-\frac{1}{2}} \, dx$。
公式：I = \int (1+x^n)^{-n-\frac{1}{2}} \, dx
提示：注意指数运算：$(1+x^n)^n \cdot (1+x^n)^{1/2} = (1+x^n)^{n+1/2}$，不要混淆底数和指数。
步骤 2/6
目标：尝试变量代换 $u = 1 + x^n$
令 $u = 1 + x^n$，则 $x^n = u-1$，$x = (u-1)^{1/n}$。微分得 $dx = \frac{1}{n} (u-1)^{\frac{1}{n}-1} \, du$。代入积分：$I = \int u^{-n-\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{n} (u-1)^{\frac{1}{n}-1} \, du = \frac{1}{n} \int u^{-n-\frac{1}{2}} (u-1)^{\frac{1}{n}-1} \, du$。
公式：I = \frac{1}{n} \int u^{-n-\frac{1}{2}} (u-1)^{\frac{1}{n}-1} \, du
提示：代换后注意微分 $dx$ 的表达式要准确，特别是幂次 $\frac{1}{n}-1$ 容易写错。
步骤 3/6
目标：尝试另一种代换 $x = t^{-1/n}$ 以简化指数
令 $x = t^{-1/n}$，则 $dx = -\frac{1}{n} t^{-\frac{1}{n}-1} \, dt$，且 $1+x^n = 1+t^{-1} = \frac{t+1}{t}$。于是 $(1+x^n)^{-n-\frac{1}{2}} = \left(\frac{t}{t+1}\right)^{n+\frac{1}{2}}$。代入积分得：$I = \int \left(\frac{t}{t+1}\right)^{n+\frac{1}{2}} \cdot \left(-\frac{1}{n} t^{-\frac{1}{n}-1}\right) \, dt = -\frac{1}{n} \int t^{n-\frac{1}{2}-\frac{1}{n}} (t+1)^{-n-\frac{1}{2}} \, dt$。
公式：I = -\frac{1}{n} \int t^{n-\frac{1}{2}-\frac{1}{n}} (t+1)^{-n-\frac{1}{2}} \, dt
提示：此代换虽未直接简化，但揭示了积分与超几何函数的联系，注意指数 $n-\frac{1}{2}-\frac{1}{n}$ 一般不是整数。
步骤 4/6
目标：尝试代换 $1+x^n = t^2$
令 $1+x^n = t^2$，则 $x^n = t^2-1$，$n x^{n-1} dx = 2t \, dt$，且 $x = (t^2-1)^{1/n}$，故 $dx = \frac{2t}{n (t^2-1)^{1-1/n}} \, dt$。被积函数化为 $\frac{1}{(t^2)^n \cdot t} = t^{-2n-1}$。代入得：$I = \int t^{-2n-1} \cdot \frac{2t}{n (t^2-1)^{1-1/n}} \, dt = \frac{2}{n} \int t^{-2n} (t^2-1)^{\frac{1}{n}-1} \, dt$。
公式：I = \frac{2}{n} \int t^{-2n} (t^2-1)^{\frac{1}{n}-1} \, dt
提示：此代换使被积函数出现 $(t^2-1)^{1/n-1}$，仍不易直接积分，仅对特殊 $n$ 可化简。
步骤 5/6
目标：特殊情形检验：$n=1$ 和 $n=2$
当 $n=1$ 时：$I = \int \frac{dx}{(1+x)\sqrt{1+x}} = \int (1+x)^{-3/2} dx = -2(1+x)^{-1/2} + C$。
当 $n=2$ 时：$I = \int \frac{dx}{(1+x^2)^2 \sqrt{1+x^2}} = \int (1+x^2)^{-5/2} dx$，可用三角代换 $x = \tan\theta$ 求得原函数为 $\frac{x}{3(1+x^2)^{3/2}} + \frac{2x}{3\sqrt{1+x^2}} + C$（需验证）。
公式：n=1: I = -2(1+x)^{-1/2} + C; n=2: I = \frac{x}{3(1+x^2)^{3/2}} + \frac{2x}{3\sqrt{1+x^2}} + C
提示：特殊值检验有助于验证一般公式的正确性，但注意 $n=2$ 的结果需仔细积分确认。
步骤 6/6
目标：总结：一般 $n$ 下的积分结果
对于一般正整数 $n$，积分 $I = \int (1+x^n)^{-n-1/2} dx$ 无法表示为初等函数，其原函数涉及超几何函数。通过代换 $t = \frac{x}{(1+x^n)^{1/n}}$ 可化为 $I = \frac{1}{n} \int (1-t^n)^{n-1/2-1/n} dt$，该积分对应 Beta 函数形式。因此，最终答案通常表示为超几何函数或特殊函数。
公式：I = \frac{1}{n} \int (1-t^n)^{n-\frac{1}{2}-\frac{1}{n}} \, dt, \quad t = \frac{x}{(1+x^n)^{1/n}}
提示：注意题目未指定 $n$ 的具体值，一般解为非初等函数；若题目期望初等解，可能 $n$ 有特殊限制（如 $n=1,2$）。
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