📝 浙江工业大学 2026年数学分析真题

1、（15 分）证明：函数 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x}}$ 在 $\displaystyle (1,2)$ 上一致连续．

2、（15分）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\lim _{n \rightarrow+\infty} \cos \left(\frac{3 x}{2}\right) \cos \left(\frac{3 x}{2^{2}}\right) \cdots \cdot \cos \left(\frac{3 x}{2^{n}}\right)\right)$ ．

3、（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right)$ 内有 $\displaystyle n,\left(n \in \mathbb{N}_{+}\right)$阶连续导数，且

$$
f^{(k)}\left(x_{0}\right)=0,(k=2,3,, \cdots, n-1), f^{(n)}\left(x_{0}\right) \neq 0,
$$

当 $\displaystyle 0<|h|<\delta$ 时，$\displaystyle f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)=h f^{\prime}\left(x_{0}+\theta h\right),(0<\theta<1)$ ，证明：

$$
\lim _{h \rightarrow 0} \theta=\frac{1}{\sqrt[n-1]{n}}
$$

4、（20 分）设 $\displaystyle n \in \mathbb{N}_{+}$，计算不定积分 $\displaystyle I=\int \frac{1}{\left(1+x^{n}\right)^{n} \sqrt{1+x^{n}}} \mathrm{~d} x$ ．

5、（20 分）设 $\displaystyle \varphi$ 是可微函数，$\displaystyle a, b, c$ 为常数，证明：由方程

$$
a x+b y+c z=\varphi\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)
$$

确定的函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 满足方程：$\displaystyle (c y-b z) \frac{\partial z}{\partial x}+(a z-c x) \frac{\partial z}{\partial y}=b x-a y$ ．

6、（20 分）设 $S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=25$ 外侧，$\displaystyle f, g, h$ 是连续可微函数，求曲面积分

$$
I=\oiint_{S}\left(f(y z)-\frac{x y^{2}}{2500}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(g(x z)-\frac{y z^{2}}{2500}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(h(x y)-\frac{z x^{2}}{2500}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$

7、（20 分）求函数 $\displaystyle f(x)=x^{2}$ 在 $\displaystyle (-\pi, \pi)$ 上的傅里叶级数，并求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}}$ ．

8、（20 分）记单位球 $\displaystyle B=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1\right\}$ ，设 $u$ 在 $B$ 上具有二阶连续偏导数，且 $\displaystyle \Delta u=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=0$ ．证明：$\displaystyle u(0)=\frac{1}{4 \pi} \iint_{\partial B} u(x, y, z) \mathrm{d} S$ ．