浙江工业大学 2026年数学分析第7题

函数为 $f(x)=x^2$，定义在 $(-\pi, \pi)$ 上，周期延拓为 $2\pi$ 周期函数。傅里叶级数公式为： $$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right)$$ 其中 $$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx, \quad n=0,1,2,\dots$$ $$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx, \quad n=1,2,\dots$$ 由于 $x^2$ 是偶函数，$\sin(nx)$ 是奇函数，故 $b_n = 0$，只需计算余弦项系数。

计算 $a_0$： $$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \, dx = \frac{1}{\pi} \cdot \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-\pi}^{\pi} = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{2\pi^3}{3} = \frac{2\pi^2}{3}$$ 因此常数项为： $$\frac{a_0}{2} = \frac{\pi^2}{3}$$

利用偶函数性质： $$a_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x^2 \cos(nx) \, dx$$ 使用分部积分法。令 $u = x^2$，$dv = \cos(nx) \, dx$，则 $du = 2x \, dx$，$v = \frac{\sin(nx)}{n}$。 $$\int x^2 \cos(nx) \, dx = \frac{x^2 \sin(nx)}{n} - \int \frac{2x \sin(nx)}{n} \, dx$$ 在 $[0, \pi]$ 上，第一项在 $x=0$ 和 $x=\pi$ 时 $\sin(n\pi)=0$，故为零。 再计算 $\int 2x \frac{\sin(nx)}{n} \, dx = \frac{2}{n} \int x \sin(nx) \, dx$。 再次分部积分：令 $u=x$，$dv=\sin(nx) \, dx$，得 $du=dx$，$v=-\frac{\cos(nx)}{n}$。 $$\int x \sin(nx) \, dx = -\frac{x \cos(nx)}{n} + \int \frac{\cos(nx)}{n} \, dx = -\frac{x \cos(nx)}{n} + \frac{\sin(nx)}{n^2}$$ 代入上下限： $$\int_0^\pi x \sin(nx) \, dx = \left[ -\frac{x \cos(nx)}{n} + \frac{\sin(nx)}{n^2} \right]_0^\pi = -\frac{\pi \cos(n\pi)}{n} = -\frac{\pi (-1)^n}{n}$$ 代回原式： $$\int_0^\pi x^2 \cos(nx) \, dx = 0 - \frac{2}{n} \cdot \left( -\frac{\pi (-1)^n}{n} \right) = \frac{2\pi (-1)^n}{n^2}$$ 因此： $$a_n = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{2\pi (-1)^n}{n^2} = \frac{4 (-1)^n}{n^2}$$

由于 $f(x)=x^2$ 在 $(-\pi, \pi)$ 内连续，且周期延拓后在端点处左右极限相等（$(-\pi)^2 = \pi^2$），傅里叶级数收敛到函数本身。因此： $$x^2 = \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4 (-1)^n}{n^2} \cos(nx), \quad x \in (-\pi, \pi)$$

取 $x = \pi$，此时 $f(\pi) = \pi^2$，且 $\cos(n\pi) = (-1)^n$，代入傅里叶级数： $$\pi^2 = \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4 (-1)^n}{n^2} \cdot (-1)^n = \frac{\pi^2}{3} + 4 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$$ 移项得： $$4 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \pi^2 - \frac{\pi^2}{3} = \frac{2\pi^2}{3}$$ 因此： $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$$

帕塞瓦尔等式：对于傅里叶级数 $f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(nx)$，有 $$\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} [f(x)]^2 \, dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n^2$$ 左边： $$\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^4 \, dx = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{2\pi^5}{5} = \frac{2\pi^4}{5}$$ 右边： $$\frac{a_0^2}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{2\pi^2}{3} \right)^2 = \frac{2\pi^4}{9}$$ $$\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{16}{n^4}$$ 代入等式： $$\frac{2\pi^4}{5} = \frac{2\pi^4}{9} + 16 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4}$$ 移项： $$16 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} = \frac{2\pi^4}{5} - \frac{2\pi^4}{9} = 2\pi^4 \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{9} \right) = 2\pi^4 \cdot \frac{4}{45} = \frac{8\pi^4}{45}$$ 因此： $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} = \frac{8\pi^4}{45 \cdot 16} = \frac{\pi^4}{90}$$