浙江工业大学 2026年数学分析第6题

题目中的曲面积分是第二类曲面积分，积分曲面为球面外侧。高斯公式将封闭曲面外侧的第二类曲面积分转化为三重积分： \[ \iint_{S} P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy = \iiint_{V} \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dV \] 其中 $V$ 是 $S$ 所围成的空间区域（球体 $x^2+y^2+z^2 \le 25$）。 这里 \[ P = f(yz) - \frac{x y^2}{2500}, \quad Q = g(xz) - \frac{y z^2}{2500}, \quad R = h(xy) - \frac{z x^2}{2500}. \]

分别计算三个偏导数： - 对 $P$ 关于 $x$ 求偏导：$f(yz)$ 不含 $x$，导数为 $0$；$-\frac{x y^2}{2500}$ 对 $x$ 求导得 $-\frac{y^2}{2500}$。所以 $\frac{\partial P}{\partial x} = -\frac{y^2}{2500}$。 - 对 $Q$ 关于 $y$ 求偏导：$g(xz)$ 不含 $y$，导数为 $0$；$-\frac{y z^2}{2500}$ 对 $y$ 求导得 $-\frac{z^2}{2500}$。所以 $\frac{\partial Q}{\partial y} = -\frac{z^2}{2500}$。 - 对 $R$ 关于 $z$ 求偏导：$h(xy)$ 不含 $z$，导数为 $0$；$-\frac{z x^2}{2500}$ 对 $z$ 求导得 $-\frac{x^2}{2500}$。所以 $\frac{\partial R}{\partial z} = -\frac{x^2}{2500}$。

将三个偏导数相加： \[ \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = -\frac{x^2 + y^2 + z^2}{2500} \] 代入高斯公式，得到三重积分： \[ I = \iiint_{V} \left( -\frac{x^2+y^2+z^2}{2500} \right) dV \] 其中 $V$ 是球体 $x^2+y^2+z^2 \le 25$。

采用球坐标变换： \[ x = r\sin\theta\cos\phi, \quad y = r\sin\theta\sin\phi, \quad z = r\cos\theta \] 则 $x^2+y^2+z^2 = r^2$，体积元 $dV = r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi$。 积分区域：$r$ 从 $0$ 到 $5$，$\theta$ 从 $0$ 到 $\pi$，$\phi$ 从 $0$ 到 $2\pi$。 积分化为： \[ I = -\frac{1}{2500} \int_{0}^{2\pi} d\phi \int_{0}^{\pi} \sin\theta\,d\theta \int_{0}^{5} r^2 \cdot r^2\,dr = -\frac{1}{2500} \cdot (2\pi) \cdot (2) \cdot \int_{0}^{5} r^4\,dr \] 其中 $\int_{0}^{\pi} \sin\theta\,d\theta = 2$。

计算径向积分： \[ \int_{0}^{5} r^4\,dr = \left[ \frac{r^5}{5} \right]_{0}^{5} = \frac{5^5}{5} = \frac{3125}{5} = 625 \] 代入得： \[ I = -\frac{1}{2500} \cdot 2\pi \cdot 2 \cdot 625 = -\frac{1}{2500} \cdot 4\pi \cdot 625 \] 由于 $\frac{625}{2500} = \frac{1}{4}$，所以 \[ I = -4\pi \cdot \frac{1}{4} = -\pi \]