浙江工业大学 2026年数学分析第5题
📝 题目
5、（20 分）设 $\displaystyle \varphi$ 是可微函数，$\displaystyle a, b, c$ 为常数，证明：由方程
$$
a x+b y+c z=\varphi\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)
$$
确定的函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 满足方程：$\displaystyle (c y-b z) \frac{\partial z}{\partial x}+(a z-c x) \frac{\partial z}{\partial y}=b x-a y$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：写出已知条件并设定隐函数
已知方程 $a x + b y + c z = \varphi(x^2 + y^2 + z^2)$，其中 $\varphi$ 可微，$a,b,c$ 为常数。由该方程隐式确定函数 $z = z(x,y)$。令 $F(x,y,z) = a x + b y + c z - \varphi(x^2 + y^2 + z^2) = 0$。
公式：F(x,y,z) = a x + b y + c z - \varphi(x^2 + y^2 + z^2) = 0
提示：注意 $\varphi$ 的自变量是 $u = x^2 + y^2 + z^2$，求导时需使用链式法则。
步骤 2/8
目标：利用隐函数定理求偏导数表达式
由隐函数定理，当 $\frac{\partial F}{\partial z} \neq 0$ 时，有 $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}$，$\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}$。
公式：\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}
提示：隐函数定理的应用前提是分母不为零，本题中假设 $c - 2z\varphi' \neq 0$。
步骤 3/8
目标：计算 $F_x, F_y, F_z$
对 $F$ 分别求偏导：
$F_x = a - \varphi'(u) \cdot 2x$，
$F_y = b - \varphi'(u) \cdot 2y$，
$F_z = c - \varphi'(u) \cdot 2z$，
其中 $u = x^2 + y^2 + z^2$。
公式：F_x = a - 2x\varphi'(u), \quad F_y = b - 2y\varphi'(u), \quad F_z = c - 2z\varphi'(u)
提示：注意 $\varphi'(u)$ 表示 $\varphi$ 对整体变量 $u$ 的导数，不要遗漏因子2。
步骤 4/8
目标：代入偏导数表达式
将 $F_x, F_y, F_z$ 代入隐函数求导公式：
$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{a - 2x\varphi'}{c - 2z\varphi'}$，
$\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{b - 2y\varphi'}{c - 2z\varphi'}$。
公式：\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{a - 2x\varphi'}{c - 2z\varphi'}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{b - 2y\varphi'}{c - 2z\varphi'}
提示：这里 $\varphi'$ 简写为 $\varphi'(u)$，注意分母相同。
步骤 5/8
目标：代入待证等式左边并化简
左边 $L = (c y - b z) \frac{\partial z}{\partial x} + (a z - c x) \frac{\partial z}{\partial y}$，代入得：
$L = (c y - b z) \cdot \left( -\frac{a - 2x\varphi'}{c - 2z\varphi'} \right) + (a z - c x) \cdot \left( -\frac{b - 2y\varphi'}{c - 2z\varphi'} \right)$
提取公因子 $-\frac{1}{c - 2z\varphi'}$：
$L = -\frac{ (c y - b z)(a - 2x\varphi') + (a z - c x)(b - 2y\varphi') }{c - 2z\varphi'}$。
公式：L = -\frac{ (c y - b z)(a - 2x\varphi') + (a z - c x)(b - 2y\varphi') }{c - 2z\varphi'}
提示：注意符号处理，提取负号时不要遗漏。
步骤 6/8
目标：展开分子并合并同类项
展开分子：
第一项：$(c y - b z)(a - 2x\varphi') = a c y - 2c x y \varphi' - a b z + 2b x z \varphi'$
第二项：$(a z - c x)(b - 2y\varphi') = a b z - 2a y z \varphi' - b c x + 2c x y \varphi'$
相加后，$a b z$ 与 $-a b z$ 抵消，$-2c x y \varphi'$ 与 $+2c x y \varphi'$ 抵消，剩余：
$分子 = a c y - b c x + 2b x z \varphi' - 2a y z \varphi'$。
公式：分子 = a c y - b c x + 2b x z \varphi' - 2a y z \varphi'
提示：合并时注意符号，$2b x z \varphi'$ 和 $-2a y z \varphi'$ 不要混淆。
步骤 7/8
目标：因式分解分子并化简
将分子写成：$c(a y - b x) + 2z\varphi'(b x - a y)$。
注意到 $b x - a y = -(a y - b x)$，所以：
$分子 = c(a y - b x) - 2z\varphi'(a y - b x) = (a y - b x)(c - 2z\varphi')$。
公式：分子 = (a y - b x)(c - 2z\varphi')
提示：提取公因式 $(a y - b x)$ 时注意符号变化。
步骤 8/8
目标：代入并得到最终结果
将分子代回 $L$ 表达式：
$L = -\frac{ (a y - b x)(c - 2z\varphi') }{c - 2z\varphi'}$。
假设 $c - 2z\varphi' \neq 0$，约分得：
$L = -(a y - b x) = b x - a y$，即等于右边。
公式：L = b x - a y
提示：约分前需确认分母不为零，这是隐函数存在的条件。
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