浙江工业大学 2026年数学分析第3题
📝 题目
3、（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right)$ 内有 $\displaystyle n,\left(n \in \mathbb{N}_{+}\right)$阶连续导数，且
$$
f^{(k)}\left(x_{0}\right)=0,(k=2,3,, \cdots, n-1), f^{(n)}\left(x_{0}\right) \neq 0,
$$
当 $\displaystyle 0<|h|<\delta$ 时，$\displaystyle f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)=h f^{\prime}\left(x_{0}+\theta h\right),(0<\theta<1)$ ，证明：
$$
\lim _{h \rightarrow 0} \theta=\frac{1}{\sqrt[n-1]{n}}
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用已知条件对f(x₀+h)进行泰勒展开
由题设，函数f在x₀附近有n阶连续导数，且f^{(k)}(x₀)=0（k=2,3,…,n-1），f^{(n)}(x₀)≠0。将f(x₀+h)在x₀处展开到n阶（带佩亚诺余项）：
f(x₀+h) = f(x₀) + f'(x₀)h + \frac{f^{(n)}(x₀)}{n!}h^n + o(h^n)
于是：
f(x₀+h) - f(x₀) = f'(x₀)h + \frac{f^{(n)}(x₀)}{n!}h^n + o(h^n)
公式：f(x₀+h) - f(x₀) = f'(x₀)h + \frac{f^{(n)}(x₀)}{n!}h^n + o(h^n)
提示：注意中间从二阶到n-1阶导数全为零，因此展开式中只有一阶和n阶项，不要遗漏余项o(hⁿ)。
步骤 2/5
目标：利用题中给出的拉格朗日中值公式建立等式
题设给出：f(x₀+h) - f(x₀) = h f'(x₀+θh)，其中0<θ<1。
将第一步的展开式代入，得：
h f'(x₀+θh) = f'(x₀)h + \frac{f^{(n)}(x₀)}{n!}h^n + o(h^n)
由于h≠0，两边同时除以h，得到：
f'(x₀+θh) = f'(x₀) + \frac{f^{(n)}(x₀)}{n!}h^{n-1} + o(h^{n-1})
公式：f'(x₀+θh) = f'(x₀) + \frac{f^{(n)}(x₀)}{n!}h^{n-1} + o(h^{n-1})
提示：除以h时注意o(hⁿ)/h = o(hⁿ⁻¹)，这是小o记号的性质。
步骤 3/5
目标：对f'(x₀+θh)进行泰勒展开
由于f有n阶连续导数，则f'有n-1阶连续导数。将f'(x₀+θh)在x₀处展开到n-1阶：
f'(x₀+θh) = f'(x₀) + f''(x₀)(θh) + … + \frac{f^{(n)}(x₀)}{(n-1)!}(θh)^{n-1} + o((θh)^{n-1})
利用条件f''(x₀)=…=f^{(n-1)}(x₀)=0，中间项全部消失，只剩下：
f'(x₀+θh) = f'(x₀) + \frac{f^{(n)}(x₀)}{(n-1)!}θ^{n-1}h^{n-1} + o(h^{n-1})
（注意：因为θ有界，θh→0，故o((θh)^{n-1}) = o(h^{n-1})）
公式：f'(x₀+θh) = f'(x₀) + \frac{f^{(n)}(x₀)}{(n-1)!}θ^{n-1}h^{n-1} + o(h^{n-1})
提示：展开阶数要准确：f'的n-1阶导数对应f的n阶导数，系数为1/(n-1)!。小o的处理要小心，因为θ可能与h有关，但这里不影响阶数。
步骤 4/5
目标：比较两个表达式，消去f'(x₀)并整理
由第二步和第三步得到两个f'(x₀+θh)的表达式：
(1) f'(x₀+θh) = f'(x₀) + \frac{f^{(n)}(x₀)}{n!}h^{n-1} + o(h^{n-1})
(2) f'(x₀+θh) = f'(x₀) + \frac{f^{(n)}(x₀)}{(n-1)!}θ^{n-1}h^{n-1} + o(h^{n-1})
两式相减，消去f'(x₀)，得：
\frac{f^{(n)}(x₀)}{(n-1)!}θ^{n-1}h^{n-1} + o(h^{n-1}) = \frac{f^{(n)}(x₀)}{n!}h^{n-1} + o(h^{n-1})
公式：\frac{f^{(n)}(x₀)}{(n-1)!}θ^{n-1}h^{n-1} + o(h^{n-1}) = \frac{f^{(n)}(x₀)}{n!}h^{n-1} + o(h^{n-1})
提示：注意两个小o项合并后仍然是o(hⁿ⁻¹)，不影响主项的比较。
步骤 5/5
目标：取极限求出θ的极限
将上一步等式两边同时除以h^{n-1}（h≠0），得：
\frac{f^{(n)}(x₀)}{(n-1)!}θ^{n-1} + \frac{o(h^{n-1})}{h^{n-1}} = \frac{f^{(n)}(x₀)}{n!} + \frac{o(h^{n-1})}{h^{n-1}}
令h→0，小o项趋于0。由于f^{(n)}(x₀)≠0，两边可约去非零因子，得到：
\frac{1}{(n-1)!} \lim_{h→0} θ^{n-1} = \frac{1}{n!}
利用n! = n·(n-1)!，化简得：
\lim_{h→0} θ^{n-1} = \frac{1}{n}
因为θ>0，开n-1次方根，即得：
\lim_{h→0} θ = \frac{1}{\sqrt[n-1]{n}}
公式：\lim_{h→0} θ = \frac{1}{\sqrt[n-1]{n}}
提示：最后开方时注意n-1次根号，不要写成平方根。θ的正负由中值定理保证为正。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。