浙江工业大学 2026年数学分析第2题
📝 题目
2、（15分）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\lim _{n \rightarrow+\infty} \cos \left(\frac{3 x}{2}\right) \cos \left(\frac{3 x}{2^{2}}\right) \cdots \cdot \cos \left(\frac{3 x}{2^{n}}\right)\right)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：定义内层乘积并引入三角恒等式
记 $P_n(x) = \prod_{k=1}^n \cos\left(\frac{3x}{2^k}\right)$。利用恒等式 $\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta$ 反复迭代，可得 $\sin(3x) = 2^n \sin\left(\frac{3x}{2^n}\right) \prod_{k=1}^n \cos\left(\frac{3x}{2^k}\right)$，因此 $P_n(x) = \frac{\sin(3x)}{2^n \sin(3x/2^n)}$。
公式：$\sin(3x) = 2^n \sin\left(\frac{3x}{2^n}\right) \prod_{k=1}^n \cos\left(\frac{3x}{2^k}\right)$
提示：注意恒等式的推导：从 $\sin\theta = 2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)$ 开始，反复应用即可得到一般形式。
步骤 2/4
目标：计算内层极限 $n \to +\infty$
当 $n \to +\infty$ 时，$\frac{3x}{2^n} \to 0$，利用等价无穷小 $\sin\left(\frac{3x}{2^n}\right) \sim \frac{3x}{2^n}$，代入得 $\lim_{n\to\infty} P_n(x) = \lim_{n\to\infty} \frac{\sin(3x)}{2^n \cdot (3x/2^n)} = \frac{\sin(3x)}{3x}$。当 $x=0$ 时，原乘积为1，该表达式极限也为1，故对一切 $x$ 成立。
公式：$\lim_{n\to\infty} P_n(x) = \frac{\sin(3x)}{3x}$
提示：注意 $x=0$ 需单独验证，但极限形式一致。
步骤 3/4
目标：计算外层极限 $x \to 0$
现在求 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x}$。令 $u=3x$，则当 $x\to0$ 时 $u\to0$，由重要极限 $\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1$ 得结果为1。
公式：$\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1$
提示：注意变量代换的准确性，不要混淆系数。
步骤 4/4
目标：得出最终答案
综合以上步骤，原极限为 $\boxed{1}$。
提示：最终答案需用方框标注。
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