浙江工业大学 2026年数学分析第1题
📝 题目
1、（15 分）证明：函数 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x}}$ 在 $\displaystyle (1,2)$ 上一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：回顾一致连续的定义
函数 $f$ 在区间 $I$ 上一致连续，是指：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对任意 $x_1, x_2 \in I$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta$，就有 $|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$。
公式：一致连续定义：$\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x_1,x_2\in I: |x_1-x_2|<\delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$
提示：注意一致连续与普通连续的区别：一致连续要求 $\delta$ 只依赖于 $\varepsilon$，而不依赖于点的位置。
步骤 2/5
目标：分析函数的导数及其有界性
计算 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x}}$ 的导数：$f'(x) = -\frac{1}{2}(1+x)^{-3/2}$。在区间 $(1,2)$ 上，由于 $(1+x)^{-3/2}$ 是递减函数，最大值在左端点 $x=1$ 处取得，因此 $|f'(x)| \le \frac{1}{2} \cdot (1+1)^{-3/2} = \frac{1}{2} \cdot 2^{-3/2} = \frac{1}{2^{5/2}} = \frac{1}{4\sqrt{2}}$。
公式：$f'(x) = -\frac{1}{2}(1+x)^{-3/2}$，$|f'(x)| \le \frac{1}{4\sqrt{2}}$
提示：注意导数的绝对值在区间端点取最大值，因为分母 $(1+x)^{3/2}$ 在 $x$ 最小时最小。
步骤 3/5
目标：利用拉格朗日中值定理得到Lipschitz条件
对任意 $x_1, x_2 \in (1,2)$，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi$ 介于 $x_1$ 与 $x_2$ 之间，使得 $|f(x_1)-f(x_2)| = |f'(\xi)| \cdot |x_1-x_2| \le \frac{1}{4\sqrt{2}} |x_1-x_2|$。这说明 $f$ 在 $(1,2)$ 上满足 Lipschitz 条件，Lipschitz 常数为 $\frac{1}{4\sqrt{2}}$。
公式：$|f(x_1)-f(x_2)| \le \frac{1}{4\sqrt{2}} |x_1-x_2|$
提示：拉格朗日中值定理要求函数在闭区间上连续、开区间内可导，这里 $(1,2)$ 是开区间，但任意两点间的闭子区间满足条件。
步骤 4/5
目标：由Lipschitz条件推出一致连续
对于任意给定的 $\varepsilon > 0$，取 $\delta = 4\sqrt{2} \, \varepsilon$。则当 $|x_1 - x_2| < \delta$ 时，有 $|f(x_1)-f(x_2)| \le \frac{1}{4\sqrt{2}} |x_1-x_2| < \frac{1}{4\sqrt{2}} \cdot 4\sqrt{2} \, \varepsilon = \varepsilon$。因此，$f$ 在 $(1,2)$ 上一致连续。
公式：$\delta = 4\sqrt{2} \, \varepsilon$
提示：取 $\delta$ 时注意乘以 Lipschitz 常数的倒数，确保不等式成立。
步骤 5/5
目标：总结结论
函数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x}}$ 在区间 $(1,2)$ 上导数有界，满足 Lipschitz 条件，从而一致连续。
提示：本题也可用 Cantor 定理（闭区间上连续函数一致连续）推广到开区间，但需注意 $(1,2)$ 不是闭区间，因此直接使用导数有界更简洁。
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