浙江工业大学 2026年数学分析第8题
📝 题目
8、（20 分）记单位球 $\displaystyle B=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1\right\}$ ，设 $u$ 在 $B$ 上具有二阶连续偏导数，且 $\displaystyle \Delta u=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=0$ ．证明：$\displaystyle u(0)=\frac{1}{4 \pi} \iint_{\partial B} u(x, y, z) \mathrm{d} S$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件和目标结论
已知：单位球 $B = \{ (x,y,z) \mid x^2+y^2+z^2 \le 1 \}$，函数 $u$ 在 $B$ 上具有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程 $\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0$。要证明：$u(0) = \frac{1}{4\pi} \iint_{\partial B} u(x,y,z) \, \mathrm{d}S$。
公式：\Delta u = 0
提示：注意调和函数的定义：拉普拉斯算子为零。
步骤 2/5
目标：引入球面上的平均值函数
对任意 $0 < r \le 1$，记半径为 $r$ 的球面 $S_r = \{ (x,y,z) : x^2+y^2+z^2 = r^2 \}$，定义平均值函数：
$$A(r) = \frac{1}{4\pi r^2} \iint_{S_r} u \, \mathrm{d}S$$
在球坐标下，$\mathrm{d}S = r^2 \mathrm{d}\Omega$，其中 $\mathrm{d}\Omega$ 是单位球面上的面积元，因此也可写为：
$$A(r) = \frac{1}{4\pi} \iint_{S_1} u(r,\theta,\phi) \, \mathrm{d}\Omega$$
公式：A(r) = \frac{1}{4\pi r^2} \iint_{S_r} u \, \mathrm{d}S
提示：注意面积元变换：$\mathrm{d}S = r^2 \mathrm{d}\Omega$。
步骤 3/5
目标：对平均值函数求导并利用散度定理
对 $A(r)$ 关于 $r$ 求导：
$$A'(r) = \frac{1}{4\pi} \iint_{S_1} \frac{\partial u}{\partial r} \, \mathrm{d}\Omega = \frac{1}{4\pi r^2} \iint_{S_r} \nabla u \cdot \mathbf{n} \, \mathrm{d}S$$
其中 $\mathbf{n}$ 是球面外法向单位向量（径向向外）。由高斯散度定理：
$$\iint_{S_r} \nabla u \cdot \mathbf{n} \, \mathrm{d}S = \iiint_{B_r} \Delta u \, \mathrm{d}V$$
由于 $\Delta u = 0$，右端为零，因此 $A'(r) = 0$。
公式：A'(r) = \frac{1}{4\pi r^2} \iint_{S_r} \nabla u \cdot \mathbf{n} \, \mathrm{d}S, \quad \iint_{S_r} \nabla u \cdot \mathbf{n} \, \mathrm{d}S = \iiint_{B_r} \Delta u \, \mathrm{d}V
提示：散度定理要求函数具有连续一阶偏导数，这里由二阶连续偏导数保证。
步骤 4/5
目标：得出平均值函数为常数
由 $A'(r) = 0$ 可知，$A(r)$ 在 $(0,1]$ 上为常数，即对任意 $0 < r_1 < r_2 \le 1$，有 $A(r_1) = A(r_2)$。
公式：A'(r) = 0 \Rightarrow A(r) \equiv \text{常数}
提示：常数性意味着球面平均值与半径无关。
步骤 5/5
目标：取极限得到球心值
由于 $u$ 连续，当 $r \to 0^+$ 时，球面上的平均值趋近于球心处的值：
$$\lim_{r \to 0^+} A(r) = u(0)$$
而 $A(r)$ 为常数，故对任意 $0 < r \le 1$ 有 $A(r) = u(0)$。特别地，取 $r=1$，得：
$$u(0) = A(1) = \frac{1}{4\pi} \iint_{\partial B} u \, \mathrm{d}S$$
公式：\lim_{r \to 0^+} A(r) = u(0), \quad u(0) = \frac{1}{4\pi} \iint_{\partial B} u \, \mathrm{d}S
提示：极限过程利用了 $u$ 的连续性，这是调和函数平均值性质的关键。
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