湖南大学 2024年数学分析第2题
📝 题目
2．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x=x_{0}$ 处可导．
（1）记 $\displaystyle x_{n}=f\left(x_{0}+\frac{1}{n^{2}}\right)+f\left(x_{0}+\frac{2}{n^{2}}\right)+\cdots+f\left(x_{0}+\frac{n}{n^{2}}\right)-n f\left(x_{0}\right)$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\frac{1}{2} f^{\prime}\left(x_{0}\right)$ ．
（2）求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sin \frac{1}{n^{2}}+\sin \frac{2}{n^{2}}+\cdots+\sin \frac{n}{n^{2}}\right)$ ．
（3）求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)\left(1+\frac{2}{n^{2}}\right) \cdots\left(1+\frac{n}{n^{2}}\right)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：证明极限为 (1/2) f'(x0)
由可导性，存在函数 ε(h) 满足当 h→0 时 ε(h)→0，使得 f(x0+h) = f(x0) + f'(x0)h + h ε(h)。取 h = k/n²，则 f(x0 + k/n²) - f(x0) = f'(x0)·(k/n²) + (k/n²) ε(k/n²)。求和得 x_n = Σ_{k=1}^n [f'(x0)·(k/n²) + (k/n²) ε(k/n²)] = f'(x0)·(1/n²) Σ k + (1/n²) Σ k ε(k/n²)。第一项 (1/n²) Σ k = (n+1)/(2n) → 1/2。第二项绝对值 ≤ (n+1)/(2n) · max|ε(k/n²)| → 0，故极限为 (1/2) f'(x0)。
公式：f(x_0+h) = f(x_0) + f'(x_0)h + h\varepsilon(h), \quad \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}
提示：注意 ε(k/n²) 的一致收敛性，因为 k/n² ≤ 1/n → 0，所以 max|ε| → 0。
步骤 2/3
目标：求 sin 和的极限
利用 sin x = x + O(x³) 展开，当 x = k/n² 时，sin(k/n²) = k/n² + O(k³/n⁶)。求和得 Σ sin(k/n²) = (1/n²) Σ k + O( (1/n⁶) Σ k³ )。计算 Σ k = n(n+1)/2，Σ k³ = n²(n+1)²/4 = O(n⁴)。第一项 (1/n²)·n(n+1)/2 = (n+1)/(2n) → 1/2；第二项 O(n⁴/n⁶) = O(1/n²) → 0。因此极限为 1/2。
公式：\sin x = x + O(x^3), \quad \sum_{k=1}^n k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}
提示：注意高阶项 O(k³/n⁶) 求和后为 O(1/n²)，确保趋于零。
步骤 3/3
目标：求乘积的极限
设 P_n = ∏_{k=1}^n (1 + k/n²)，取对数得 ln P_n = Σ ln(1 + k/n²)。利用 ln(1+x) = x - x²/2 + O(x³)，其中 x = k/n²。则 ln(1+k/n²) = k/n² - k²/(2n⁴) + O(k³/n⁶)。求和：Σ k/n² = (n+1)/(2n) → 1/2；Σ k²/(2n⁴) = (1/(2n⁴))·n(n+1)(2n+1)/6 = (n+1)(2n+1)/(12n³) → 0；高阶项 O(Σ k³/n⁶) = O(1/n²) → 0。故 ln P_n → 1/2，P_n → e^{1/2} = √e。
公式：\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + O(x^3), \quad \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
提示：注意 ln(1+x) 展开到二阶，因为一阶项给出极限，二阶项趋于零，高阶项更小。
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