湖南大学 2024年数学分析第3题
📝 题目
3．解答如下问题：
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 为三次多项式，$\displaystyle x \in[-1,1]$ ．证明：
$$
\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{3}[f(1)+4 f(0)+f(-1)]
$$
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 上的三次多项式，证明：
$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\frac{b-a}{6}\left[f(a)+4 f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：设出三次多项式的一般形式，并计算左边积分
设三次多项式的一般形式为 $f(x) = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D$，其中 $A, B, C, D$ 是常数。直接计算积分：
$$\int_{-1}^{1} f(x)\,dx = \int_{-1}^{1} (Ax^3 + Bx^2 + Cx + D)\,dx$$
公式：$f(x) = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D$
提示：注意奇函数在对称区间积分为零，偶函数积分可化为2倍半区间积分。
步骤 2/7
目标：利用奇偶性简化积分计算
由于 $Ax^3$ 和 $Cx$ 是奇函数，在对称区间 $[-1,1]$ 上积分为零：
$$\int_{-1}^{1} Ax^3\,dx = 0,\quad \int_{-1}^{1} Cx\,dx = 0$$
剩下偶函数部分：
$$\int_{-1}^{1} Bx^2\,dx = 2B \int_{0}^{1} x^2\,dx = 2B \cdot \frac{1}{3} = \frac{2B}{3}$$
$$\int_{-1}^{1} D\,dx = 2D$$
因此：
$$\int_{-1}^{1} f(x)\,dx = \frac{2B}{3} + 2D$$
公式：$\int_{-1}^{1} f(x)\,dx = \frac{2B}{3} + 2D$
提示：计算 $\int_0^1 x^2 dx = 1/3$ 不要出错。
步骤 3/7
目标：计算右边的表达式
计算 $f(1), f(-1), f(0)$：
$$f(1) = A + B + C + D$$
$$f(-1) = -A + B - C + D$$
$$f(0) = D$$
于是：
$$f(1) + f(-1) = 2B + 2D$$
$$f(1) + 4f(0) + f(-1) = 2B + 2D + 4D = 2B + 6D$$
乘以 $\frac13$ 得：
$$\frac13(2B + 6D) = \frac{2B}{3} + 2D$$
公式：$\frac13[f(1)+4f(0)+f(-1)] = \frac{2B}{3} + 2D$
提示：注意 $f(1)$ 和 $f(-1)$ 相加时 $A$ 和 $C$ 项抵消。
步骤 4/7
目标：比较左右两边，完成第一问证明
左边积分结果为 $\frac{2B}{3} + 2D$，右边表达式结果也为 $\frac{2B}{3} + 2D$，两者相等，因此等式成立。第一问证毕。
公式：$\int_{-1}^{1} f(x)\,dx = \frac13[f(1)+4f(0)+f(-1)]$
提示：该结论对任意三次多项式成立，是Simpson公式的特例。
步骤 5/7
目标：通过变量替换将一般区间映射到[-1,1]
令 $t = \frac{2x - (a+b)}{b-a}$，则当 $x=a$ 时 $t=-1$，$x=b$ 时 $t=1$，$x=\frac{a+b}{2}$ 时 $t=0$。并且 $dx = \frac{b-a}{2}\,dt$。于是：
$$\int_a^b f(x)\,dx = \int_{-1}^{1} f\left( \frac{(b-a)t + (a+b)}{2} \right) \cdot \frac{b-a}{2}\,dt$$
公式：$t = \frac{2x - (a+b)}{b-a}$
提示：变量替换时注意积分限和微分元的对应关系。
步骤 6/7
目标：定义新函数并应用第一问结论
记 $g(t) = f\left( \frac{(b-a)t + (a+b)}{2} \right)$，由于 $f$ 是三次多项式，$t$ 与 $x$ 是线性关系，故 $g(t)$ 仍是 $t$ 的三次多项式。由第一问结论：
$$\int_{-1}^{1} g(t)\,dt = \frac13[g(1) + 4g(0) + g(-1)]$$
代入 $g(1)=f(b),\, g(-1)=f(a),\, g(0)=f\left(\frac{a+b}{2}\right)$ 得：
$$\int_{-1}^{1} g(t)\,dt = \frac13\left[f(b) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right) + f(a)\right]$$
公式：$\int_{-1}^{1} g(t)\,dt = \frac13[f(a) + 4f(\frac{a+b}{2}) + f(b)]$
提示：注意 $g(t)$ 仍然是三次多项式，这是应用第一问的关键。
步骤 7/7
目标：代回原积分，完成第二问证明
将上述结果乘以 $\frac{b-a}{2}$：
$$\int_a^b f(x)\,dx = \frac{b-a}{2} \cdot \frac13\left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right) + f(b)\right] = \frac{b-a}{6}\left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right) + f(b)\right]$$
证毕。
公式：$\int_a^b f(x)\,dx = \frac{b-a}{6}\left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right) + f(b)\right]$
提示：该公式即为Simpson求积公式，对三次多项式精确成立。
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