湖南大学 2024年数学分析第4题
📝 题目
4．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续，对任意的 $\displaystyle h>0$ ，序列 $\displaystyle \{f(n h)\}$ 极限存在．证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件和证明目标，引入一致连续的定义
已知 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续，即对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得当 $|x-y|<\delta$ 时，$|f(x)-f(y)|<\varepsilon$，且 $\delta$ 与 $x,y$ 无关。此外，对任意固定的 $h>0$，数列 $\{f(nh)\}$ 的极限存在。要证明 $\lim_{x\to+\infty}f(x)$ 存在。
公式：一致连续定义：$\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\forall x,y\ge0:|x-y|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(y)|<\varepsilon$
提示：注意一致连续与普通连续的区别：这里的 $\delta$ 不依赖于点的位置，这是后续证明的关键。
步骤 2/5
目标：利用Cauchy收敛准则，将问题转化为证明函数值在充分大时任意两点之差可以任意小
要证明 $\lim_{x\to+\infty}f(x)$ 存在，等价于证明对任意 $\varepsilon>0$，存在 $M>0$，使得当 $x,y>M$ 时，$|f(x)-f(y)|<\varepsilon$。这是Cauchy收敛准则在函数极限中的形式。
公式：Cauchy准则：$\lim_{x\to+\infty}f(x)=L\iff\forall\varepsilon>0,\exists M>0,\forall x,y>M:|f(x)-f(y)|<\varepsilon$
提示：不要直接试图构造极限值，用Cauchy准则可以避免处理极限与$h$的关系。
步骤 3/5
目标：取定一个小于一致连续性中$\delta$的步长$h$，利用数列极限的Cauchy性质
由一致连续性，对给定的 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$ 使得当 $|x-y|<\delta$ 时 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon/3$。取一个固定的 $h$ 满足 $0N$ 时，$|f(mh)-f(nh)|<\varepsilon/3$。
公式：数列Cauchy性：$\forall\varepsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall m,n>N:|f(mh)-f(nh)|<\varepsilon/3$
提示：这里$h$的选取非常关键：既要小于$\delta$，又要保证数列极限存在性可用。
步骤 4/5
目标：将任意大的$x$与离散点$nh$建立联系，利用一致连续性控制误差
对任意充分大的 $x$，令 $n=\lfloor x/h\rfloor$，则 $n\le x/h < n+1$，从而 $0\le x-nh < h < \delta$。由一致连续性，$|f(x)-f(nh)|<\varepsilon/3$。同理，对另一个充分大的 $y$，令 $m=\lfloor y/h\rfloor$，也有 $|f(y)-f(mh)|<\varepsilon/3$。
公式：$|x-nh|
提示：注意这里$n$和$m$会随着$x,y$增大而趋于无穷，因此当$x,y$足够大时，$n,m>N$成立。
步骤 5/5
目标：综合以上估计，证明Cauchy准则成立，从而极限存在
取 $M=Nh$，则当 $x,y>M$ 时，对应的 $n,m>N$。于是由三角不等式：
$$
|f(x)-f(y)|\le |f(x)-f(nh)|+|f(nh)-f(mh)|+|f(mh)-f(y)|<\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}=\varepsilon.
$$
因此对任意 $\varepsilon>0$，存在 $M=Nh$，使得当 $x,y>M$ 时 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$，由Cauchy准则知 $\lim_{x\to+\infty}f(x)$ 存在。
公式：$|f(x)-f(y)|\le |f(x)-f(nh)|+|f(nh)-f(mh)|+|f(mh)-f(y)|<\varepsilon$
提示：三角不等式是连接离散与连续的关键，注意每一步的误差控制都是$\varepsilon/3$，最终总和为$\varepsilon$。
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