湖南大学 2024年数学分析第5题
📝 题目
5．设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．证明：
（1）存在 $\displaystyle M>0$ ，对任意的正整数 $n$ 及 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，有 $\displaystyle \left|f_{n}(x)\right| \leq M$ ，且 $\displaystyle |f(x)| \leq M$ ．
（2）若 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续，那么 $\displaystyle \left\{g\left(f_{n}(x)\right)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle g(f(x))$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用一致收敛定义，取ε=1得到一致逼近条件
由一致收敛定义，对任意ε>0，存在N，当n>N时，对所有x∈[a,b]有|f_n(x)-f(x)|<ε。取ε=1，则存在正整数N_0，对所有n>N_0及任意x∈[a,b]有|f_n(x)-f(x)|<1。
公式：\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall n>N, \forall x\in[a,b]: |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon
提示：注意一致收敛中N只依赖于ε，不依赖于x。
步骤 2/5
目标：对有限个函数和极限函数分别取最大值，构造公共上界M
前N_0个函数f_1,…,f_{N_0}在闭区间上连续，故有最大值，令M_1 = \max_{1≤k≤N_0}\max_{x∈[a,b]}|f_k(x)|。极限函数f也连续，令M_2 = \max_{x∈[a,b]}|f(x)|。取M = \max\{M_1, M_2+1\}，则对所有n和x有|f_n(x)|≤M，且|f(x)|≤M。
公式：M = \max\left\{\max_{1\le k\le N_0}\max_{[a,b]}|f_k|,\ \max_{[a,b]}|f|+1\right\}
提示：注意M_2+1是为了覆盖n>N_0的情形，因为此时|f_n(x)|≤|f(x)|+1≤M_2+1。
步骤 3/5
目标：由(1)知所有函数值落在闭区间[-M,M]内，利用g在闭区间上的一致连续性
由于g在R上连续，故在闭区间[-M,M]上一致连续。对任意ε>0，存在δ>0，当u,v∈[-M,M]且|u-v|<δ时，有|g(u)-g(v)|<ε。
公式：\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall u,v\in[-M,M], |u-v|<\delta \Rightarrow |g(u)-g(v)|<\varepsilon
提示：一致连续性依赖于闭区间，这里[-M,M]是闭区间，所以成立。
步骤 4/5
目标：利用f_n的一致收敛性，对上述δ找到公共N
由f_n一致收敛于f，对上述δ>0，存在N，当n>N时，对所有x∈[a,b]有|f_n(x)-f(x)|<δ。
公式：\exists N, \forall n>N, \forall x\in[a,b]: |f_n(x)-f(x)|<\delta
提示：这里δ由g的一致连续性决定，与ε相关。
步骤 5/5
目标：结合一致连续性和一致收敛性，证明复合函数列一致收敛
当n>N时，对所有x∈[a,b]，有|f_n(x)-f(x)|<δ，且f_n(x),f(x)∈[-M,M]，故由g的一致连续性得|g(f_n(x))-g(f(x))|<ε。这正是{g(f_n(x))}在[a,b]上一致收敛于g(f(x))的定义。
公式：\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall n>N, \forall x\in[a,b]: |g(f_n(x))-g(f(x))|<\varepsilon
提示：注意这里N依赖于ε，但通过δ间接依赖，且对所有x一致成立。
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