湖南大学 2025年数学分析第9题

曲线为 $z = e^{y}$，$0 \le y \le a$，绕 $z$ 轴旋转一周。旋转后，点 $(x,y,z)$ 到 $z$ 轴的距离为 $r = \sqrt{x^2 + y^2}$，原 $y$ 替换为 $r$，得曲面方程 $z = e^{\sqrt{x^2 + y^2}}$，其中 $0 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le a$。曲面取下侧，即法向量指向 $z$ 轴负方向。

积分 $I = \iint_{\Sigma} 4xz \, dy\,dz - 2yz \, dz\,dx + (1 - z^2) \, dx\,dy$，对应 $P = 4xz$，$Q = -2yz$，$R = 1 - z^2$。曲面 $\Sigma$ 有边界（底部为点，顶部为圆），不封闭，考虑补面后用高斯公式。

补顶面 $\Sigma_1$：$z = e^a$，$x^2 + y^2 \le a^2$，取上侧，与 $\Sigma$ 取下侧构成封闭区域外侧。由高斯公式： $$ \iint_{\Sigma \cup \Sigma_1} P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy = \iiint_V \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dV $$ 计算散度：$\frac{\partial P}{\partial x} = 4z$，$\frac{\partial Q}{\partial y} = -2z$，$\frac{\partial R}{\partial z} = -2z$，和为 $0$。故封闭曲面积分为 $0$，即 $\iint_{\Sigma} + \iint_{\Sigma_1} = 0$，所以 $I = -\iint_{\Sigma_1}$。

在顶面 $\Sigma_1$ 上，$z = e^a$ 为常数，法向量向上，故 $dy\,dz = 0$，$dz\,dx = 0$，仅 $dx\,dy$ 项贡献： $$ \iint_{\Sigma_1} = \iint_{x^2 + y^2 \le a^2} R(x,y,e^a) \, dx\,dy = \iint_{x^2 + y^2 \le a^2} (1 - e^{2a}) \, dx\,dy $$ 圆盘面积为 $\pi a^2$，因此 $\iint_{\Sigma_1} = (1 - e^{2a}) \pi a^2$。

由 $I = -\iint_{\Sigma_1}$，代入得： $$ I = - (1 - e^{2a}) \pi a^2 = (e^{2a} - 1) \pi a^2 $$ 此为最终答案。