湖南师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
2．设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界，在 $[a, b]$ 上只有 $\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ 为不连续点，且 $\left\{x_{n}\right\}$ 收玫，证明：$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件和目标
已知函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界，设 $|f(x)| \leq M$。不连续点集合为 $\{x_n\}_{n=1}^\infty$，且该数列收敛。要证明 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积。记收敛点为 $x_0 = \lim_{n\to\infty} x_n$，显然 $x_0 \in [a,b]$。
公式：|f(x)| \leq M, \quad x_0 = \lim_{n\to\infty} x_n
提示：注意有界性是可积的必要条件之一，这里直接给出。
步骤 2/6
目标：分析不连续点的结构
因为数列 $\{x_n\}$ 收敛到 $x_0$，由收敛数列的性质：对任意 $\delta > 0$，在区间 $[a,b]$ 中除去 $(x_0-\delta, x_0+\delta)$ 后，剩下的部分只包含数列中的有限个点。这意味着除了 $x_0$ 附近可能聚集无穷多个不连续点外，其余部分只有有限个不连续点。
公式：\forall \delta>0, \; \{x_n\} \setminus (x_0-\delta, x_0+\delta) \text{ 为有限集}
提示：这是收敛数列的基本性质，是后续分割的关键。
步骤 3/6
目标：构造分割并估计极限点邻域的振幅
取足够小的 $\delta > 0$，使得小区间 $[x_0-\delta, x_0+\delta] \cap [a,b]$ 的长度小于 $\frac{\varepsilon}{4M}$。在该小区间上，由于函数有界，振幅不超过 $2M$，因此这部分对总振幅的贡献不超过 $2M \cdot \text{长度} < 2M \cdot \frac{\varepsilon}{4M} = \frac{\varepsilon}{2}$。
公式：2M \cdot \frac{\varepsilon}{4M} = \frac{\varepsilon}{2}
提示：这里利用了有界性来估计振幅上界，注意长度要足够小。
步骤 4/6
目标：处理剩余有限个不连续点
在 $[a,b]$ 去掉上述小区间后，剩下的部分只有有限个不连续点，记为 $y_1, y_2, \dots, y_k$。对每个不连续点，用一个很小的区间包住，使得这些小区间的总长度小于 $\frac{\varepsilon}{4M}$。这样，这些小区间上的总振幅贡献也小于 $\frac{\varepsilon}{2}$。
公式：\sum_{i=1}^k \text{长度}_i < \frac{\varepsilon}{4M} \quad \Rightarrow \quad \text{振幅和} < \frac{\varepsilon}{2}
提示：有限个点可以逐个处理，每个小区间长度可以取得任意小。
步骤 5/6
目标：处理剩余连续部分
在剩下的更小的闭区间上，函数是连续的（因为所有不连续点已被包进小区间）。连续函数在闭区间上一致连续，因此可以分割得足够细，使得每个子区间上的振幅都任意小。从而这部分的总振幅也可以小于任意给定的正数，比如小于 $\frac{\varepsilon}{2}$。
公式：\forall \eta>0, \exists \text{分割}, \; \sum \omega_i \Delta x_i < \eta
提示：一致连续性保证了分割可以足够细，这是经典结论。
步骤 6/6
目标：综合估计并得出结论
将以上三部分的振幅贡献相加：极限点邻域贡献小于 $\frac{\varepsilon}{2}$，有限个不连续点邻域贡献小于 $\frac{\varepsilon}{2}$，连续部分贡献小于 $\frac{\varepsilon}{2}$（实际可更小）。总振幅和小于 $\frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$。由达布定理（黎曼可积的充要条件），$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积。
公式：\sum \omega_i \Delta x_i < \varepsilon
提示：注意振幅和可以任意小，这是可积的判定标准。
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