📝 湖南师范大学 2025年数学分析真题

1．计算广义积分 $\int_{0}^{+\infty} e^{-2 x}|\sin x| d x$ ．

2．设 $\displaystyle f(x)=\frac{1-x+x^{2}}{1+x+x^{2}}$ ，求 $f^{(2024)}(0)$ ．

3．用 $C[-1,1]$ 表示闭区间 $[-1,1]$ 上连续函数的合集，对任意的 $f(x) \in[-1,1]$ ，记 $A(f(x))=\int_{-1}^{0} f(x) d x-\int_{0}^{1} f(x) d x$ ．求 $\sup \left\{A(f(x))\left|\max _{-1 \leqslant x \leqslant 1}\right| f(x) \mid \leqslant 1, f(x) \in C[-1,1]\right\}$ ．

1．设 $f(x)$ 在任意的 $[0, b](b>0)$ 上黎曼可积，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\alpha$ ，证明： $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} t \int_{0}^{+\infty} e^{-t x} f(x) d x=\alpha$ ．

2．设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界，在 $[a, b]$ 上只有 $\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ 为不连续点，且 $\left\{x_{n}\right\}$ 收玫，证明：$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积．

3．证明 $\displaystyle \sin \frac{1}{x}$ 在 $(c, 1)(0<c<1)$ 上一致连续，在 $(0,1)$ 上非一致连续．

4．描述区间套定理，并用区间套定理证明致密性定理．

3．已知 $\displaystyle f(x)$ 为连续函数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+2 x^{2}\right)-x f(x)}{x^{2}}=0$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

4．设 $\displaystyle x_{n}=(1+\alpha)\left(1+\alpha^{2}\right)\left(1+\alpha^{4}\right) \cdots\left(1+\alpha^{2^{n}}\right),|\alpha|<1$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$

5． $\displaystyle \sup _{0<s<1} \int_{0}^{1}|\ln | s-t| | d t=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

6．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x,-1 \leqslant x \leqslant 2 ; \\ 0, \text { 其他．}\end{array}\right.$ 则 $\displaystyle \iint_{\mathbb{R}^{2}} f(x) f\left(x^{2}-y\right) d x d y=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

7．设 $\displaystyle L:|x|+|y|=1$ ，取逆时针方向，求 $\displaystyle \oint_{L} \frac{-y-x^{2}}{x^{2}+y^{2}+2|x y|} d x+\frac{x+y^{2}}{x^{2}+y^{2}+2|x y|} d y=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

8． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\cos \frac{\pi}{4 n}+\cos \frac{3 \pi}{4 n}+\cdots+\cos \frac{(2 n-1) \pi}{4 n}}{\sqrt{n^{2}+n+1}}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

9．级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n+x \sin n x}{n^{2}+x^{2}}$ 的收敛域为 $\displaystyle =$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．