湖南师范大学 2025年数学分析第3题
📝 题目
3．已知 $\displaystyle f(x)$ 为连续函数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+2 x^{2}\right)-x f(x)}{x^{2}}=0$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析已知极限条件
已知 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+2x^2) - x f(x)}{x^2} = 0$，其中 $f(x)$ 连续。我们需要由此求出 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}$。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+2x^2) - x f(x)}{x^2} = 0
提示：注意极限为0，说明分子是比 $x^2$ 高阶的无穷小。
步骤 2/5
目标：展开对数函数
当 $x \to 0$ 时，利用泰勒展开：$\ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + o(u^2)$，令 $u = 2x^2$，得 $\ln(1+2x^2) = 2x^2 - \frac{(2x^2)^2}{2} + o(x^4) = 2x^2 - 2x^4 + o(x^4)$。
公式：\ln(1+2x^2) = 2x^2 - 2x^4 + o(x^4)
提示：展开到 $x^4$ 项是为了后续与 $x f(x)$ 比较时能准确判断阶数。
步骤 3/5
目标：代入极限表达式并化简
将展开式代入分子：$\ln(1+2x^2) - x f(x) = 2x^2 - 2x^4 + o(x^4) - x f(x)$。除以 $x^2$ 得：$\frac{\ln(1+2x^2) - x f(x)}{x^2} = 2 - 2x^2 + o(x^2) - \frac{f(x)}{x}$。
公式：\frac{\ln(1+2x^2) - x f(x)}{x^2} = 2 - \frac{f(x)}{x} - 2x^2 + o(x^2)
提示：注意 $o(x^4)/x^2 = o(x^2)$，不要遗漏高阶项。
步骤 4/5
目标：利用极限条件推出关系
由已知极限为0，得 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \left( 2 - \frac{f(x)}{x} - 2x^2 + o(x^2) \right) = 0$。由于 $\lim_{x \to 0} (-2x^2 + o(x^2)) = 0$，因此 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \left( 2 - \frac{f(x)}{x} \right) = 0$。
公式：\lim_{x \to 0} \left( 2 - \frac{f(x)}{x} \right) = 0
提示：这里用到极限的线性性质：若 $\lim (A+B)=0$ 且 $\lim B=0$，则 $\lim A=0$。
步骤 5/5
目标：求出目标极限
由 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \left( 2 - \frac{f(x)}{x} \right) = 0$ 可得 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 2$。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 2
提示：注意 $f(x)$ 连续的条件保证了极限存在性，但此处直接由极限等式得出结果。
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