湖南师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
1．计算广义积分 $\int_{0}^{+\infty} e^{-2 x}|\sin x| d x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析被积函数的周期性，将积分分解为无穷级数
由于 \(|\sin x|\) 的周期为 \(\pi\)，将积分区间按周期分段：
\[
\int_0^{+\infty} e^{-2x} |\sin x| \, dx = \sum_{k=0}^\infty \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} e^{-2x} |\sin x| \, dx
\]
公式：\int_0^{+\infty} e^{-2x} |\sin x| \, dx = \sum_{k=0}^\infty \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} e^{-2x} |\sin x| \, dx
提示：注意绝对值函数周期为 \(\pi\)，而非 \(2\pi\)，分段时区间长度为 \(\pi\)。
步骤 2/5
目标：通过变量替换简化每个周期上的积分
令 \(x = t + k\pi\)，则 \(dx = dt\)，当 \(x\) 从 \(k\pi\) 到 \((k+1)\pi\) 时，\(t\) 从 \(0\) 到 \(\pi\)。
此时 \(\sin x = \sin(t + k\pi) = (-1)^k \sin t\)，取绝对值得 \(|\sin x| = \sin t\)。
同时 \(e^{-2x} = e^{-2(t + k\pi)} = e^{-2k\pi} e^{-2t}\)。
因此第 \(k\) 个区间的积分为：
\[
\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} e^{-2x} |\sin x| \, dx = e^{-2k\pi} \int_0^\pi e^{-2t} \sin t \, dt
\]
公式：\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} e^{-2x} |\sin x| \, dx = e^{-2k\pi} \int_0^\pi e^{-2t} \sin t \, dt
提示：注意 \(\sin(t + k\pi) = (-1)^k \sin t\)，绝对值后符号消失，确保被积函数非负。
步骤 3/5
目标：计算基本积分 \(I = \int_0^\pi e^{-2t} \sin t \, dt\)
使用分部积分或公式：
\[
\int e^{at} \sin(bt) \, dt = \frac{e^{at}(a \sin(bt) - b \cos(bt))}{a^2 + b^2}
\]
这里 \(a = -2, b = 1\)，所以
\[
\int e^{-2t} \sin t \, dt = \frac{e^{-2t}(-2 \sin t - \cos t)}{5}
\]
计算定积分：
在 \(t = \pi\) 时，\(\sin \pi = 0, \cos \pi = -1\)，值为 \(\frac{e^{-2\pi}(0 - (-1))}{5} = \frac{e^{-2\pi}}{5}\)；
在 \(t = 0\) 时，\(\sin 0 = 0, \cos 0 = 1\)，值为 \(\frac{1 \cdot (0 - 1)}{5} = -\frac{1}{5}\)。
因此
\[
I = \frac{e^{-2\pi}}{5} - \left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{1 + e^{-2\pi}}{5}
\]
公式：I = \int_0^\pi e^{-2t} \sin t \, dt = \frac{1 + e^{-2\pi}}{5}
提示：使用公式时注意符号，代入上下限时小心计算，避免符号错误。
步骤 4/5
目标：将基本积分代入级数并求和
原积分化为：
\[
\sum_{k=0}^\infty e^{-2k\pi} \cdot I = I \sum_{k=0}^\infty (e^{-2\pi})^k
\]
由于 \(e^{-2\pi} < 1\)，等比级数求和公式给出：
\[
\sum_{k=0}^\infty (e^{-2\pi})^k = \frac{1}{1 - e^{-2\pi}}
\]
因此
\[
\int_0^{+\infty} e^{-2x} |\sin x| \, dx = \frac{1 + e^{-2\pi}}{5} \cdot \frac{1}{1 - e^{-2\pi}}
\]
公式：\int_0^{+\infty} e^{-2x} |\sin x| \, dx = \frac{1 + e^{-2\pi}}{5} \cdot \frac{1}{1 - e^{-2\pi}}
提示：确认公比 \(e^{-2\pi}\) 小于1，级数收敛，求和公式适用。
步骤 5/5
目标：化简最终结果
将结果化简：
\[
\frac{1 + e^{-2\pi}}{1 - e^{-2\pi}} = \frac{e^{2\pi} + 1}{e^{2\pi} - 1}
\]
所以
\[
\int_0^{+\infty} e^{-2x} |\sin x| \, dx = \frac{1}{5} \cdot \frac{e^{2\pi} + 1}{e^{2\pi} - 1}
\]
也可写成双曲余切形式：
\[
\frac{1}{5} \coth \pi
\]
因为 \(\coth \pi = \frac{e^{\pi} + e^{-\pi}}{e^{\pi} - e^{-\pi}} = \frac{e^{2\pi} + 1}{e^{2\pi} - 1}\)。
公式：\boxed{\frac{1}{5} \cdot \frac{e^{2\pi}+1}{e^{2\pi}-1}}
提示：化简时分子分母同乘 \(e^{2\pi}\) 可避免负指数，注意双曲函数形式的等价性。
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