湖南师范大学 2025年数学分析第0题

区间套定理（闭区间套定理）是实数完备性的一个基本定理。设有一列闭区间 $[a_1, b_1], [a_2, b_2], \dots, [a_n, b_n], \dots$ 满足： 1. 后一个区间包含在前一个区间内，即 $[a_{n+1}, b_{n+1}] \subseteq [a_n, b_n]$，$n=1,2,3,\dots$； 2. 区间长度趋于零，即 $\lim_{n \to \infty} (b_n - a_n) = 0$。 则存在唯一的一个实数 $\xi$ 属于所有闭区间，即 $\bigcap_{n=1}^{\infty} [a_n, b_n] = \{\xi\}$。

设数列 $\{x_n\}$ 有界，即存在 $M > 0$，使得对所有 $n$ 有 $|x_n| \le M$。取初始区间 $[a_1, b_1] = [-M, M]$，显然该区间包含数列的所有项。

将区间 $[a_1, b_1]$ 平分为两个闭区间：$\left[a_1, \frac{a_1+b_1}{2}\right]$ 和 $\left[\frac{a_1+b_1}{2}, b_1\right]$。因为原区间包含无穷多个数列的项（实际上包含所有项），所以至少有一个子区间包含无穷多个项。选取那个包含无穷多项的子区间，记为 $[a_2, b_2]$。

重复上述步骤：假设已经得到区间 $[a_k, b_k]$ 包含无穷多个 $\{x_n\}$ 的项，将其二等分，则至少有一个子区间也包含无穷多个项，取它为 $[a_{k+1}, b_{k+1}]$。这样得到一列闭区间 $\{[a_n, b_n]\}$，满足： - $[a_{n+1}, b_{n+1}] \subseteq [a_n, b_n]$； - 长度 $b_n - a_n = \frac{2M}{2^{n-1}} \to 0$。

由区间套定理，存在唯一的实数 $\xi$ 属于所有区间，即 $\xi \in \bigcap_{n=1}^{\infty} [a_n, b_n]$。这意味着对任意 $n$，有 $a_n \le \xi \le b_n$，且 $a_n \to \xi$，$b_n \to \xi$。

由于每个 $[a_n, b_n]$ 都含有原数列的无穷多项，我们可以依次从中选取一项 $x_{k_n}$，使得下标严格递增（因为每次区间内有无穷多项，总可以选到比之前更大的下标）。这样得到子列 $\{x_{k_n}\}$。

由区间套的构造，对于任意 $n$，有 $a_n \le x_{k_n} \le b_n$。由于 $a_n \to \xi$，$b_n \to \xi$，由夹逼定理得 $\lim_{n \to \infty} x_{k_n} = \xi$。因此该子列收敛，从而证明了有界数列必有收敛子列，即致密性定理成立。