湖南师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
3．证明 $\displaystyle \sin \frac{1}{x}$ 在 $(c, 1)(0<c<1)$ 上一致连续，在 $(0,1)$ 上非一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明在 (c,1) 上一致连续
考虑闭区间 $[c,1]$，其中 $00$ 时 $\frac{1}{x}$ 连续，正弦函数连续，复合函数连续）。根据康托尔定理（一致连续性定理），闭区间上的连续函数必一致连续。因此 $f(x)$ 在 $[c,1]$ 上一致连续。由于 $(c,1) \subset [c,1]$，故 $f(x)$ 在 $(c,1)$ 上也一致连续。
公式：一致连续性定义：$\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x_1,x_2\in[c,1], |x_1-x_2|<\delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$
提示：注意闭区间上连续函数一致连续是经典结论，无需重新构造 $\delta$。
步骤 2/4
目标：构造反例证明在 (0,1) 上非一致连续
取 $\varepsilon_0=1$。构造两个点列：
$$
x_n = \frac{1}{2n\pi + \frac{\pi}{2}}, \quad y_n = \frac{1}{2n\pi - \frac{\pi}{2}}
$$
则
$$
f(x_n)=\sin\left(2n\pi+\frac{\pi}{2}\right)=1, \quad f(y_n)=\sin\left(2n\pi-\frac{\pi}{2}\right)=-1
$$
于是 $|f(x_n)-f(y_n)|=2 \ge \varepsilon_0$。
公式：$|x_n-y_n| = \left|\frac{1}{2n\pi+\pi/2} - \frac{1}{2n\pi-\pi/2}\right| = \frac{\pi}{4n^2\pi^2 - \pi^2/4}$
提示：选择 $\varepsilon_0=1$ 是因为正弦函数值域为 $[-1,1]$，差值可达2，取1足够。
步骤 3/4
目标：验证点列距离可以任意小
计算 $|x_n-y_n|$：
$$
|x_n-y_n| = \frac{\pi}{(2n\pi)^2 - (\pi/2)^2} = \frac{\pi}{4n^2\pi^2 - \pi^2/4}
$$
当 $n\to\infty$ 时，分母趋于无穷大，故 $|x_n-y_n|\to 0$。因此对任意 $\delta>0$，存在足够大的 $n$ 使得 $|x_n-y_n|<\delta$，但 $|f(x_n)-f(y_n)|=2 \ge 1$。
公式：$\lim_{n\to\infty} |x_n-y_n| = 0$
提示：注意 $x_n$ 和 $y_n$ 都趋近于0，但函数值振荡剧烈，导致不一致连续。
步骤 4/4
目标：根据定义得出非一致连续的结论
一致连续的定义要求：$\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x_1,x_2\in(0,1), |x_1-x_2|<\delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$。
我们找到了 $\varepsilon_0=1$，使得对任意 $\delta>0$，都存在 $x_n,y_n\in(0,1)$ 满足 $|x_n-y_n|<\delta$ 但 $|f(x_n)-f(y_n)|=2 \ge \varepsilon_0$。这正好否定了一致连续的条件，故 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上非一致连续。
公式：非一致连续的否定形式：$\exists \varepsilon_0>0, \forall \delta>0, \exists x_1,x_2\in(0,1), |x_1-x_2|<\delta \land |f(x_1)-f(x_2)|\ge \varepsilon_0$
提示：注意区分一致连续与连续：连续是逐点性质，一致连续是整体性质。
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