湖南师范大学 2025年数学分析第4题
📝 题目
4．设 $\displaystyle x_{n}=(1+\alpha)\left(1+\alpha^{2}\right)\left(1+\alpha^{4}\right) \cdots\left(1+\alpha^{2^{n}}\right),|\alpha|<1$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：观察结构并尝试化简
注意到指数是 1, 2, 4, 8, …，也就是 2 的幂次。这种形式让我们联想到平方差公式：$(1 - \alpha)(1 + \alpha) = 1 - \alpha^2$。如果我们乘上 $(1-\alpha)$，就可以逐次利用平方差公式。
公式：(1 - \alpha)(1 + \alpha) = 1 - \alpha^2
提示：注意指数是2的幂次，这是使用平方差公式的关键特征。
步骤 2/4
目标：引入因子 (1-α) 并逐步化简
考虑 $(1-\alpha)x_n = (1-\alpha)(1+\alpha)(1+\alpha^2)(1+\alpha^4)\cdots(1+\alpha^{2^n})$。先看前两项：$(1-\alpha)(1+\alpha) = 1 - \alpha^2$，于是 $(1-\alpha)x_n = (1-\alpha^2)(1+\alpha^2)(1+\alpha^4)\cdots(1+\alpha^{2^n})$。再次使用平方差：$(1-\alpha^2)(1+\alpha^2) = 1 - \alpha^4$，所以 $(1-\alpha)x_n = (1-\alpha^4)(1+\alpha^4)\cdots(1+\alpha^{2^n})$。一直这样下去，最后会得到 $(1-\alpha)x_n = 1 - \alpha^{2^{n+1}}$。
公式：(1-\alpha)x_n = 1 - \alpha^{2^{n+1}}
提示：每一步都使用平方差公式，注意指数翻倍，最终只剩下两项。
步骤 3/4
目标：写出 x_n 的表达式
由 $(1-\alpha)x_n = 1 - \alpha^{2^{n+1}}$，两边同时除以 $(1-\alpha)$（因为 $|\alpha|<1$，所以 $1-\alpha \neq 0$），得到 $x_n = \frac{1 - \alpha^{2^{n+1}}}{1 - \alpha}$。
公式：x_n = \frac{1 - \alpha^{2^{n+1}}}{1 - \alpha}
提示：注意分母不为零的条件，$|\alpha|<1$ 保证了这一点。
步骤 4/4
目标：取极限
已知 $|\alpha| < 1$，所以当 $n \to \infty$ 时，$\alpha^{2^{n+1}} \to 0$。因此 $\lim_{n\to\infty} x_n = \frac{1 - 0}{1 - \alpha} = \frac{1}{1 - \alpha}$。
公式：\lim_{n\to\infty} x_n = \frac{1}{1-\alpha}
提示：当 $|\alpha|<1$ 时，$\alpha$ 的高次幂趋于0，这是极限计算的关键。
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