湖南师范大学 2025年数学分析第5题
📝 题目
5． $\displaystyle \sup _{0<s<1} \int_{0}^{1}|\ln | s-t| | d t=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解被积函数与对称性分析
被积函数为 $|\ln |s-t||$，在 $t=s$ 处对数发散，但积分收敛。由于积分区间为 $[0,1]$，当 $s$ 靠近端点时，奇异点靠近边界，积分值可能较小；当 $s$ 在中间时，奇异点居中，积分可能较大。因此猜测最大值在 $s=\frac12$ 处取得。
公式：$I(s)=\int_0^1 |\ln|s-t||\,dt$
提示：注意对数绝对值处理：当自变量在 $(0,1)$ 时，$\ln$ 为负，绝对值等于 $-$ 对数本身。
步骤 2/7
目标：拆分积分并去掉绝对值
将积分拆分为 $ts$ 两部分：
$$I(s)=\int_0^s |\ln(s-t)|\,dt+\int_s^1 |\ln(t-s)|\,dt.$$
当 $0
公式：$I(s)=-\int_0^s \ln(s-t)\,dt -\int_s^1 \ln(t-s)\,dt$
提示：注意积分区间内 $|s-t|<1$ 恒成立，因此绝对值可直接去掉并加负号。
步骤 3/7
目标：计算第一个积分
令 $u=s-t$，则 $t=s-u$，$dt=-du$，当 $t:0\to s$ 时 $u:s\to 0$。于是
$$-\int_0^s \ln(s-t)\,dt = -\int_s^0 \ln u\,(-du) = -\int_0^s \ln u\,du.$$
利用 $\int \ln u\,du = u\ln u - u + C$，得
$$-\int_0^s \ln u\,du = -\big[ u\ln u - u \big]_0^s = -\big( s\ln s - s - \lim_{u\to 0^+}(u\ln u - u) \big).$$
由于 $\lim_{u\to 0^+} u\ln u = 0$，结果为 $-s\ln s + s$。
公式：$-\int_0^s \ln(s-t)\,dt = -s\ln s + s$
提示：计算下限极限时，$\lim_{u\to 0^+} u\ln u = 0$ 是常用结论。
步骤 4/7
目标：计算第二个积分
令 $v=t-s$，则 $t=s+v$，$dt=dv$，当 $t:s\to 1$ 时 $v:0\to 1-s$。于是
$$-\int_s^1 \ln(t-s)\,dt = -\int_0^{1-s} \ln v\,dv = -\big[ v\ln v - v \big]_0^{1-s}.$$
代入上下限，下限极限为 $0$，得
$$-\big( (1-s)\ln(1-s) - (1-s) \big) = -(1-s)\ln(1-s) + (1-s).$$
公式：$-\int_s^1 \ln(t-s)\,dt = -(1-s)\ln(1-s) + (1-s)$
提示：注意积分限变换后，$v$ 的上限是 $1-s$，不是 $1$。
步骤 5/7
目标：合并结果得到 I(s) 表达式
将两个积分结果相加：
$$I(s) = (-s\ln s + s) + (-(1-s)\ln(1-s) + (1-s)) = 1 - s\ln s - (1-s)\ln(1-s).$$
该函数关于 $s=\frac12$ 对称，定义域为 $(0,1)$。
公式：$I(s) = 1 - s\ln s - (1-s)\ln(1-s)$
提示：常数项 $s+(1-s)=1$ 不要遗漏。
步骤 6/7
目标：求导找极值点
令 $f(s)=1 - s\ln s - (1-s)\ln(1-s)$。求导：
$$f'(s) = (-\ln s - 1) + (\ln(1-s) + 1) = \ln\frac{1-s}{s}.$$
令 $f'(s)=0$ 得 $\frac{1-s}{s}=1$，解得 $s=\frac12$。
公式：$f'(s) = \ln\frac{1-s}{s}$
提示：对 $-(1-s)\ln(1-s)$ 求导时，可令 $u=1-s$ 用链式法则，避免符号错误。
步骤 7/7
目标：计算最大值并确认
代入 $s=\frac12$：
$$I\left(\frac12\right) = 1 - \frac12\ln\frac12 - \frac12\ln\frac12 = 1 - \ln\frac12 = 1 + \ln 2.$$
单调性：当 $s<\frac12$ 时 $f'(s)>0$，$s>\frac12$ 时 $f'(s)<0$，故 $s=\frac12$ 为最大值点。端点极限 $\lim_{s\to 0^+} I(s)=1$，$\lim_{s\to 1^-} I(s)=1$，因此上确界为 $1+\ln 2$。
公式：$\sup_{0
提示：注意 $\ln\frac12 = -\ln 2$，负负得正。
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