湖南师范大学 2025年数学分析第6题
📝 题目
6．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x,-1 \leqslant x \leqslant 2 ; \\ 0, \text { 其他．}\end{array}\right.$ 则 $\displaystyle \iint_{\mathbb{R}^{2}} f(x) f\left(x^{2}-y\right) d x d y=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解函数定义并确定非零区域
函数 $f(x)$ 定义为：当 $-1 \le x \le 2$ 时，$f(x)=x$；否则 $f(x)=0$。因此，被积函数 $f(x) f(x^2 - y)$ 非零当且仅当 $x$ 和 $x^2 - y$ 同时落在 $[-1,2]$ 内。
公式：$f(x) = \begin{cases} x, & -1 \le x \le 2 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$
提示：注意分段函数的定义域，只有自变量在区间内时函数值才非零。
步骤 2/4
目标：将二重积分化为累次积分
由非零条件：$x \in [-1,2]$，且 $-1 \le x^2 - y \le 2$，解得 $y$ 的范围为 $x^2 - 2 \le y \le x^2 + 1$。于是积分化为：
$$\iint_{\mathbb{R}^2} f(x) f(x^2 - y) \, dx \, dy = \int_{x=-1}^{2} \int_{y=x^2-2}^{x^2+1} x \cdot (x^2 - y) \, dy \, dx$$
公式：$y \in [x^2-2, x^2+1]$
提示：注意不等式变号时方向要反转，确保上下限正确。
步骤 3/4
目标：先对 $y$ 积分
固定 $x$，内层积分：
$$\int_{y=x^2-2}^{x^2+1} x (x^2 - y) \, dy = x \left[ x^2 y - \frac{y^2}{2} \right]_{y=x^2-2}^{x^2+1}$$
分别计算上下限：
上限：$x^2(x^2+1) - \frac{(x^2+1)^2}{2} = \frac{x^4}{2} - \frac{1}{2}$
下限：$x^2(x^2-2) - \frac{(x^2-2)^2}{2} = \frac{x^4}{2} - 2$
相减得：$\left(\frac{x^4}{2} - \frac{1}{2}\right) - \left(\frac{x^4}{2} - 2\right) = \frac{3}{2}$
再乘以 $x$ 得：$\frac{3x}{2}$
公式：$\int_{x^2-2}^{x^2+1} x(x^2-y) \, dy = \frac{3x}{2}$
提示：计算定积分时注意代入上下限要仔细，避免符号错误。
步骤 4/4
目标：对 $x$ 积分得到最终结果
外层积分：
$$\int_{x=-1}^{2} \frac{3x}{2} \, dx = \frac{3}{2} \cdot \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{2} = \frac{3}{4} (4 - 1) = \frac{9}{4}$$
公式：$\int_{-1}^{2} \frac{3x}{2} \, dx = \frac{9}{4}$
提示：注意积分上下限是 $-1$ 到 $2$，计算平方差时不要遗漏负号。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。