湖南师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
2．设 $\displaystyle f(x)=\frac{1-x+x^{2}}{1+x+x^{2}}$ ，求 $f^{(2024)}(0)$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简函数形式
将函数 $f(x)=\frac{1-x+x^{2}}{1+x+x^{2}}$ 通过多项式除法化简为 $f(x)=1-\frac{2x}{1+x+x^{2}}$。验证：$1-\frac{2x}{1+x+x^{2}}=\frac{1+x+x^{2}-2x}{1+x+x^{2}}=\frac{1-x+x^{2}}{1+x+x^{2}}$。
公式：f(x)=1-\frac{2x}{1+x+x^{2}}
提示：注意分子分母次数相同，优先考虑分离出常数项，简化后续展开。
步骤 2/5
目标：将分母转化为可展开形式
利用恒等式 $1+x+x^{2}=\frac{1-x^{3}}{1-x}$，得到 $\frac{1}{1+x+x^{2}}=\frac{1-x}{1-x^{3}}$。然后对 $\frac{1}{1-x^{3}}$ 使用几何级数展开：$\frac{1}{1-x^{3}}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{3n}$，其中 $|x|<1$。于是 $\frac{1-x}{1-x^{3}}=(1-x)\sum_{n=0}^{\infty}x^{3n}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{3n}-\sum_{n=0}^{\infty}x^{3n+1}$。
公式：\frac{1}{1+x+x^{2}}=\sum_{k=0}^{\infty}a_k x^k,\quad a_k=\begin{cases}1,&k\equiv0\pmod{3}\\-1,&k\equiv1\pmod{3}\\0,&k\equiv2\pmod{3}\end{cases}
提示：注意 $1-x^3$ 的展开只适用于 $|x|<1$，但求导数值时仅需形式幂级数。
步骤 3/5
目标：写出f(x)的麦克劳林级数
将展开式代入 $f(x)=1-2x\cdot\frac{1}{1+x+x^{2}}$，得 $f(x)=1-2x\sum_{k=0}^{\infty}a_k x^k=1-2\sum_{k=0}^{\infty}a_k x^{k+1}$。令 $n=k+1$，则 $f(x)=1-2\sum_{n=1}^{\infty}a_{n-1}x^n$。因此对于 $n\ge1$，$x^n$ 的系数 $c_n=-2a_{n-1}$。
公式：f(x)=1-2\sum_{n=1}^{\infty}a_{n-1}x^n,\quad c_n=-2a_{n-1}
提示：常数项1对应n=0，不影响高阶导数。
步骤 4/5
目标：确定2024阶导数对应的系数
麦克劳林展开中 $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$，所以 $\frac{f^{(2024)}(0)}{2024!}=c_{2024}=-2a_{2023}$。计算 $2023$ 除以 $3$ 的余数：$2023=3\times674+1$，故 $2023\equiv1\pmod{3}$，对应 $a_{2023}=-1$。因此 $c_{2024}=-2\times(-1)=2$。
公式：\frac{f^{(2024)}(0)}{2024!}=2
提示：注意下标对应关系：$c_n$ 对应 $x^n$ 系数，而 $a_{n-1}$ 的下标需减1。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
由 $\frac{f^{(2024)}(0)}{2024!}=2$，解得 $f^{(2024)}(0)=2\times2024!$。
公式：f^{(2024)}(0)=2\cdot2024!
提示：最终答案以阶乘形式保留，无需展开。
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