湖南师范大学 2025年数学分析第7题
📝 题目
7．设 $\displaystyle L:|x|+|y|=1$ ，取逆时针方向，求 $\displaystyle \oint_{L} \frac{-y-x^{2}}{x^{2}+y^{2}+2|x y|} d x+\frac{x+y^{2}}{x^{2}+y^{2}+2|x y|} d y=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：化简分母
注意到分母为 $x^2+y^2+2|xy|$，而 $(|x|+|y|)^2 = x^2+y^2+2|xy|$。在曲线 $L:|x|+|y|=1$ 上，分母恒等于 $1$。因此原积分简化为：
$$\oint_{L} (-y-x^2) \, dx + (x+y^2) \, dy$$
公式：$x^2+y^2+2|xy| = (|x|+|y|)^2$
提示：注意绝对值处理，利用平方关系去掉分母。
步骤 2/7
目标：分段描述曲线
曲线 $L$ 是菱形，按象限分为四段（逆时针方向）：
- 第一象限：$x\ge0,y\ge0$，方程 $x+y=1$，从 $(1,0)$ 到 $(0,1)$；
- 第二象限：$x\le0,y\ge0$，方程 $-x+y=1$，从 $(0,1)$ 到 $(-1,0)$；
- 第三象限：$x\le0,y\le0$，方程 $-x-y=1$，从 $(-1,0)$ 到 $(0,-1)$；
- 第四象限：$x\ge0,y\le0$，方程 $x-y=1$，从 $(0,-1)$ 到 $(1,0)$。
公式：各段直线方程
提示：注意逆时针方向对应的起点和终点。
步骤 3/7
目标：计算第一象限积分
令 $x=t$，则 $y=1-t$，$t$ 从 $1$ 到 $0$，$dx=dt$，$dy=-dt$。
被积式：
$$[-(1-t)-t^2]dt + [t+(1-t)^2](-dt) = (-1+t-t^2)dt + (-1+t-t^2)dt = (-2+2t-2t^2)dt$$
积分：
$$\int_{1}^{0} (-2+2t-2t^2)dt = \left[-2t+t^2-\frac{2}{3}t^3\right]_{1}^{0} = 0 - \left(-2+1-\frac{2}{3}\right) = \frac{5}{3}$$
公式：$\int_{1}^{0} (-2+2t-2t^2)dt = \frac{5}{3}$
提示：注意积分上下限与方向一致，从1到0。
步骤 4/7
目标：计算第二象限积分
令 $x=t$，则 $y=1+t$（因为 $-x+y=1$），$t$ 从 $0$ 到 $-1$，$dy=dt$。
被积式：
$$[-(1+t)-t^2]dt + [t+(1+t)^2]dt = (-1-t-t^2+t+1+2t+t^2)dt = 2t\,dt$$
积分：
$$\int_{0}^{-1} 2t\,dt = \left[t^2\right]_{0}^{-1} = 1 - 0 = 1$$
公式：$\int_{0}^{-1} 2t\,dt = 1$
提示：注意 $t$ 从0到-1，积分结果为正。
步骤 5/7
目标：计算第三象限积分
令 $x=t$，则 $y=-1-t$（因为 $-x-y=1$），$t$ 从 $-1$ 到 $0$，$dy=-dt$。
被积式：
$$[ -(-1-t)-t^2 ]dt + [ t+(-1-t)^2 ](-dt) = (1+t-t^2)dt - (1+3t+t^2)dt = (-2t-2t^2)dt$$
积分：
$$\int_{-1}^{0} (-2t-2t^2)dt = \left[-t^2-\frac{2}{3}t^3\right]_{-1}^{0} = 0 - \left(-1+\frac{2}{3}\right) = \frac{1}{3}$$
公式：$\int_{-1}^{0} (-2t-2t^2)dt = \frac{1}{3}$
提示：注意 $(-1-t)^2 = 1+2t+t^2$，合并时小心符号。
步骤 6/7
目标：计算第四象限积分
令 $x=t$，则 $y=t-1$（因为 $x-y=1$），$t$ 从 $0$ 到 $1$，$dy=dt$。
被积式：
$$[-(t-1)-t^2]dt + [t+(t-1)^2]dt = (-t+1-t^2)dt + (t^2-t+1)dt = (2-2t)dt$$
积分：
$$\int_{0}^{1} (2-2t)dt = \left[2t-t^2\right]_{0}^{1} = (2-1)-0 = 1$$
公式：$\int_{0}^{1} (2-2t)dt = 1$
提示：注意 $(t-1)^2 = t^2-2t+1$，合并后简化。
步骤 7/7
目标：求和得最终结果
四段积分之和：
$$\frac{5}{3} + 1 + \frac{1}{3} + 1 = \frac{5}{3}+\frac{1}{3}+2 = 2+2 = 4$$
公式：$\frac{5}{3}+1+\frac{1}{3}+1 = 4$
提示：注意分数相加，避免计算错误。
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