湖南师范大学 2025年数学分析第8题
📝 题目
8． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\cos \frac{\pi}{4 n}+\cos \frac{3 \pi}{4 n}+\cdots+\cos \frac{(2 n-1) \pi}{4 n}}{\sqrt{n^{2}+n+1}}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将分子写成求和形式
分子是余弦函数的和，角度分别为 \(\frac{\pi}{4n}, \frac{3\pi}{4n}, \frac{5\pi}{4n}, \dots, \frac{(2n-1)\pi}{4n}\)，构成等差数列，公差为 \(\frac{\pi}{2n}\)。因此分子可表示为：
\[ S_n = \sum_{k=1}^{n} \cos\left( \frac{(2k-1)\pi}{4n} \right) \]
公式：S_n = \sum_{k=1}^{n} \cos\left( \frac{(2k-1)\pi}{4n} \right)
提示：注意角度的通项公式，避免写错下标。
步骤 2/5
目标：利用三角恒等式化简求和
使用余弦等间隔求和公式：
\[ \sum_{k=1}^{n} \cos((2k-1)\theta) = \frac{\sin(2n\theta)}{2\sin\theta} \]
令 \(\theta = \frac{\pi}{4n}\)，代入得：
\[ S_n = \frac{\sin\left(2n \cdot \frac{\pi}{4n}\right)}{2\sin\left(\frac{\pi}{4n}\right)} = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)}{2\sin\left(\frac{\pi}{4n}\right)} = \frac{1}{2\sin\left(\frac{\pi}{4n}\right)} \]
公式：\sum_{k=1}^{n} \cos((2k-1)\theta) = \frac{\sin(2n\theta)}{2\sin\theta}
提示：验证公式时，检查首项和末项是否匹配。
步骤 3/5
目标：代入原极限表达式
将化简后的分子代入原极限：
\[ L = \lim_{n\to\infty} \frac{ \frac{1}{2\sin(\pi/(4n))} }{ \sqrt{n^{2}+n+1} } = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2\sin\left(\frac{\pi}{4n}\right) \sqrt{n^{2}+n+1}} \]
公式：L = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2\sin\left(\frac{\pi}{4n}\right) \sqrt{n^{2}+n+1}}
提示：注意分母是两个因子的乘积，不要遗漏。
步骤 4/5
目标：使用等价无穷小替换
当 \(n \to \infty\) 时，\(\frac{\pi}{4n} \to 0\)，有 \(\sin\left(\frac{\pi}{4n}\right) \sim \frac{\pi}{4n}\)。代入得：
\[ L = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2 \cdot \frac{\pi}{4n} \cdot \sqrt{n^{2}+n+1}} = \lim_{n\to\infty} \frac{2n}{\pi \sqrt{n^{2}+n+1}} \]
公式：\sin\left(\frac{\pi}{4n}\right) \sim \frac{\pi}{4n} \quad (n \to \infty)
提示：等价无穷小替换时，确保自变量趋于0。
步骤 5/5
目标：化简并求极限
将根号部分变形：
\[ \sqrt{n^{2}+n+1} = n\sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}} \]
代入得：
\[ L = \lim_{n\to\infty} \frac{2n}{\pi n \sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}}} = \lim_{n\to\infty} \frac{2}{\pi \sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}}} \]
当 \(n \to \infty\) 时，\(\sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}} \to 1\)，因此：
\[ L = \frac{2}{\pi} \]
公式：\lim_{n\to\infty} \frac{2}{\pi \sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}}} = \frac{2}{\pi}
提示：注意提取公因子 \(n\) 时，根号内要保留所有项。
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