湖南师范大学 2025年数学分析第9题
📝 题目
9．级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n+x \sin n x}{n^{2}+x^{2}}$ 的收敛域为 $\displaystyle =$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将原级数拆分为两个级数分别分析
原级数可以写成：
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n n}{n^2+x^2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x \sin(nx)}{n^2+x^2}\]
分别判断这两个级数对任意实数 \(x\) 的收敛性。
公式：\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n+x \sin n x}{n^{2}+x^{2}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n n}{n^2+x^2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x \sin(nx)}{n^2+x^2}
提示：拆分后要分别处理，注意第二个级数中 \(x=0\) 时需单独考虑。
步骤 2/5
目标：判断第一个级数的收敛性
考虑第一个级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n n}{n^2+x^2}\)。令 \(a_n = \frac{n}{n^2+x^2}\)。对于固定的 \(x\)，当 \(n > |x|\) 时，\(a_n\) 单调递减且趋于0。由莱布尼茨判别法，交错级数 \(\sum (-1)^n a_n\) 收敛。因此第一个级数对任意实数 \(x\) 收敛。
公式：a_n = \frac{n}{n^2+x^2}, \quad \lim_{n\to\infty} a_n = 0, \quad a_n \searrow 0 \ (n > |x|)
提示：注意验证单调递减条件：对 \(n\) 求导或作差，确保 \(n\) 足够大时成立。
步骤 3/5
目标：判断第二个级数的收敛性（x=0情形）
当 \(x=0\) 时，每一项 \(\frac{0 \cdot \sin(0)}{n^2+0}=0\)，级数显然收敛。
公式：x=0 \Rightarrow \frac{x \sin(nx)}{n^2+x^2}=0
提示：不要遗漏 \(x=0\) 的特殊情况。
步骤 4/5
目标：判断第二个级数的收敛性（x≠0情形）
当 \(x \neq 0\) 时，对通项取绝对值：\(\left|\frac{x \sin(nx)}{n^2+x^2}\right| \le \frac{|x|}{n^2+x^2}\)。对于大的 \(n\)，分母 \(\sim n^2\)，因此 \(\frac{|x|}{n^2+x^2} \sim \frac{|x|}{n^2}\)。而 \(\sum \frac{1}{n^2}\) 收敛，由比较判别法知原级数绝对收敛，从而收敛。
公式：\left|\frac{x \sin(nx)}{n^2+x^2}\right| \le \frac{|x|}{n^2+x^2} \sim \frac{|x|}{n^2}, \quad \sum \frac{1}{n^2} \text{ 收敛}
提示：使用绝对值不等式放缩时，注意 \(|\sin(nx)| \le 1\)。
步骤 5/5
目标：综合两个级数的收敛性，得出原级数的收敛域
第一个级数对任意实数 \(x\) 收敛，第二个级数也对任意实数 \(x\) 收敛（包括 \(x=0\) 的特殊情形），因此原级数对所有实数 \(x\) 收敛。收敛域为整个实数集。
公式：\text{收敛域} = (-\infty, +\infty)
提示：两个级数都收敛时，和级数一定收敛。
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