湖南师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
3．用 $C[-1,1]$ 表示闭区间 $[-1,1]$ 上连续函数的合集，对任意的 $f(x) \in[-1,1]$ ，记 $A(f(x))=\int_{-1}^{0} f(x) d x-\int_{0}^{1} f(x) d x$ ．求 $\sup \left\{A(f(x))\left|\max _{-1 \leqslant x \leqslant 1}\right| f(x) \mid \leqslant 1, f(x) \in C[-1,1]\right\}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解问题与约束条件
题目要求在闭区间 $[-1,1]$ 上的连续函数 $f(x)$ 满足 $\max_{-1 \le x \le 1} |f(x)| \le 1$，即 $|f(x)| \le 1$ 对所有 $x$ 成立。我们需要求泛函 $A(f) = \int_{-1}^{0} f(x) \, dx - \int_{0}^{1} f(x) \, dx$ 的上确界。
公式：A(f) = \int_{-1}^{0} f(x) \, dx - \int_{0}^{1} f(x) \, dx, \quad |f(x)| \le 1
提示：注意 $f(x)$ 是连续函数，不能有间断点，这是后续构造逼近序列的关键约束。
步骤 2/7
目标：直观分析与理想情形
为了最大化 $A(f)$，我们希望 $\int_{-1}^{0} f(x) \, dx$ 尽可能大，而 $\int_{0}^{1} f(x) \, dx$ 尽可能小（因为减号）。由于 $|f(x)| \le 1$，左边最大可能值为 $\int_{-1}^{0} 1 \, dx = 1$，右边最小可能值为 $\int_{0}^{1} (-1) \, dx = -1$，此时 $A(f) = 1 - (-1) = 2$。但理想函数 $f(x) = 1$ 在 $[-1,0)$ 和 $f(x) = -1$ 在 $(0,1]$ 在 $x=0$ 处不连续，因此无法直接取到，需要构造连续函数逼近。
公式：\int_{-1}^{0} 1 \, dx = 1, \quad \int_{0}^{1} (-1) \, dx = -1
提示：注意 $A(f)$ 的表达式是左边减右边，右边取最小值 $-1$ 时，减去它相当于加上 $1$。
步骤 3/7
目标：构造连续函数逼近序列
构造一个连续函数序列 $f_n(x)$，在 $x=0$ 附近用线性函数连接，使得 $|f_n(x)| \le 1$：
$$
f_n(x) =
\begin{cases}
1, & -1 \le x \le -\frac{1}{n}, \\
-nx, & -\frac{1}{n} < x < \frac{1}{n}, \\
-1, & \frac{1}{n} \le x \le 1.
\end{cases}
$$
该函数在 $[-1,1]$ 上连续，且满足约束。
公式：f_n(x) = \begin{cases} 1, & -1 \le x \le -\frac{1}{n} \\ -nx, & -\frac{1}{n} < x < \frac{1}{n} \\ -1, & \frac{1}{n} \le x \le 1 \end{cases}
提示：线性过渡段 $-nx$ 在 $x = -1/n$ 处值为 $1$，在 $x = 1/n$ 处值为 $-1$，保证了连续性。
步骤 4/7
目标：计算左边积分 $\int_{-1}^{0} f_n(x) \, dx$
将积分区间分为 $[-1, -1/n]$ 和 $[-1/n, 0]$：
- 第一部分：$\int_{-1}^{-1/n} 1 \, dx = 1 - \frac{1}{n}$。
- 第二部分：$\int_{-1/n}^{0} (-nx) \, dx = -n \cdot \frac{x^2}{2} \Big|_{-1/n}^{0} = -n \left(0 - \frac{1}{2n^2}\right) = \frac{1}{2n}$。
总和为 $1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{2n} = 1 - \frac{1}{2n}$。
公式：\int_{-1}^{0} f_n(x) \, dx = 1 - \frac{1}{2n}
提示：注意积分上下限和分段函数的正确代入，第二部分 $-nx$ 的原函数是 $-\frac{n}{2}x^2$。
步骤 5/7
目标：计算右边积分 $\int_{0}^{1} f_n(x) \, dx$
将积分区间分为 $[0, 1/n]$ 和 $[1/n, 1]$：
- 第一部分：$\int_{0}^{1/n} (-nx) \, dx = -n \cdot \frac{x^2}{2} \Big|_{0}^{1/n} = -n \cdot \frac{1}{2n^2} = -\frac{1}{2n}$。
- 第二部分：$\int_{1/n}^{1} (-1) \, dx = -\left(1 - \frac{1}{n}\right) = -1 + \frac{1}{n}$。
总和为 $-\frac{1}{2n} - 1 + \frac{1}{n} = -1 + \frac{1}{2n}$。
公式：\int_{0}^{1} f_n(x) \, dx = -1 + \frac{1}{2n}
提示：注意右边积分是负值，计算时小心符号。
步骤 6/7
目标：计算 $A(f_n)$ 并取极限
由前两步结果：
$$
A(f_n) = \left(1 - \frac{1}{2n}\right) - \left(-1 + \frac{1}{2n}\right) = 1 - \frac{1}{2n} + 1 - \frac{1}{2n} = 2 - \frac{1}{n}.
$$
当 $n \to \infty$ 时，$A(f_n) \to 2$。这表明上确界至少为 $2$。
公式：A(f_n) = 2 - \frac{1}{n} \to 2 \quad (n \to \infty)
提示：极限过程 $n \to \infty$ 使得过渡区间越来越窄，逼近理想情形。
步骤 7/7
目标：证明上界 $2$ 并得出上确界
对任意满足条件的连续函数 $f$，有 $f(x) \le 1$ 在 $[-1,0]$ 上，故 $\int_{-1}^{0} f(x) \, dx \le \int_{-1}^{0} 1 \, dx = 1$；又 $f(x) \ge -1$ 在 $[0,1]$ 上，故 $-\int_{0}^{1} f(x) \, dx \le -\int_{0}^{1} (-1) \, dx = 1$。因此 $A(f) \le 1 + 1 = 2$。结合逼近序列，上确界为 $2$，但由于连续性，等号无法取到（理想函数在 $x=0$ 处不连续）。
公式：A(f) \le 2, \quad \sup A(f) = 2
提示：上确界是最大值点不存在的上界，这里 $2$ 是可达的极限值但非函数值。
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