湖南师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
1．极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{2}} \ln \frac{\sin x}{x}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析极限类型
当 \(x \to 0\) 时，\(\sin x \sim x\)，因此 \(\frac{\sin x}{x} \to 1\)，\(\ln \frac{\sin x}{x} \to 0\)，分母 \(x^2 \to 0\)，所以该极限为 \(\frac{0}{0}\) 型未定式。
提示：注意识别未定式类型，为后续使用洛必达法则或等价无穷小做准备。
步骤 2/5
目标：展开 \(\sin x\) 的泰勒级数
将 \(\sin x\) 在 \(x=0\) 处展开：\(\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)\)，则 \(\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{6} + O(x^4)\)。
公式：\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)
提示：展开到 \(x^2\) 项即可，因为分母是 \(x^2\)，更高阶项不影响极限结果。
步骤 3/5
目标：应用等价无穷小替换
令 \(u = -\frac{x^2}{6} + O(x^4)\)，当 \(x \to 0\) 时 \(u \to 0\)，利用 \(\ln(1+u) \sim u\)，得 \(\ln \frac{\sin x}{x} \sim -\frac{x^2}{6} + O(x^4)\)。
公式：\ln(1+u) \sim u \quad (u \to 0)
提示：等价无穷小替换时，必须确保 \(u \to 0\)，且替换后保留主要项。
步骤 4/5
目标：代入原极限并化简
将等价无穷小结果代入：\(\frac{1}{x^2} \ln \frac{\sin x}{x} \sim \frac{1}{x^2} \left(-\frac{x^2}{6} + O(x^4)\right) = -\frac{1}{6} + O(x^2)\)。当 \(x \to 0\) 时，\(O(x^2) \to 0\)。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \ln \frac{\sin x}{x} = -\frac{1}{6}
提示：注意 \(O(x^4)/x^2 = O(x^2)\) 趋于0，因此极限值即为 \(-\frac{1}{6}\)。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
因此，所求极限为 \(-\frac{1}{6}\)。
提示：可用洛必达法则验证，但等价无穷小方法更简洁。
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