📝 湖南师范大学 2026年数学分析真题

1．极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{2}} \ln \frac{\sin x}{x}=$ $\_\_\_\_$ ．

2．极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{2}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{1}{n}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

3．设 $\displaystyle f(x)=\frac{x^{4}}{1-x^{2}}$ ，则 $f^{(2026)}(0)=$ $\_\_\_\_$。

4．设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，$f^{\prime}(0)$ 存在，且

$$
f(x)=x^{3}+x^{2} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}-x \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x .
$$

则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

5．曲面 $x=\sqrt{2 y^{2}+3 z^{2}-4}$ 上垂直于直线 $\displaystyle \frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z}{3}$ 的切平面方程为 $\_\_\_\_$ ．

6．设 $f(x)$ 二次可微，且 $\sup _{x \in[0,1]} f^{\prime \prime}(x) \leq 2$ ，若 $f(0)=f(1)=2$ ，且曲线 $y=f(x)-x^{2}$ 与直线 $y=2-x$交于点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(0<x_{0}<1\right)$ ，则对任意的 $x \in(0,1), f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

7．设 $p>0$ ，广义积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}+\sin x} \mathrm{~d} x$ 条件收玫，则实数 $p$ 满足的条件是 $\_\_\_\_$ ．

8．级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n)!}=$ $\_\_\_\_$ ．

9．设曲线 $L: x^{2}+y^{2}=16$ ，取逆时针方向，则 $\displaystyle \oint_{L} \frac{y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y}{x^{2}+x y+y^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．

10．计算曲面积分

$$
I=\iint_{S} \frac{2 x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(x+2)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}
$$

其中 $S: z=-\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}$ ，取上侧，则 $I=$ $\_\_\_\_$ ．

1．设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有一阶连续导数，定义 $\displaystyle s_{n}=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right)$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} s_{n}$ ．

2．设 $f(x, y)$ 在闭区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}$ 上有二阶连续偏导数，且

$$
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)
$$

求 $\displaystyle \iint_{D}\left(x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．

3．设函数 $\displaystyle I(\alpha)=\int_{0}^{1} \frac{\ln (1+\alpha x)}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x(\alpha \geq 0)$ ，求 $I(1)$ 的值．

1．设函数 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $g^{\prime}(x) \neq 0$ ，证明：存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得

$$
\frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)}=\frac{f(\xi)-f(a)}{g(b)-g(\xi)}
$$

2．用有限覆盖定理证明：闭区间 $[a, b]$ 上的连续函数 $f(x)$ 一定在 $[a, b]$ 上一致连续．

3．设函数 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且有相同的单调性，证明：

$$
(b-a) \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x \geq \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x
$$

4．设 $f(x)$ 定义在 $[-1,1]$ 上，且 $f^{\prime \prime}(0)$ 存在，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛当且仅当 $f(0)=f^{\prime}(0)=0$ ．