湖南师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
5．曲面 $x=\sqrt{2 y^{2}+3 z^{2}-4}$ 上垂直于直线 $\displaystyle \frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z}{3}$ 的切平面方程为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将曲面方程化为隐函数形式
原曲面方程为 $x = \sqrt{2y^2 + 3z^2 - 4}$，其中 $x \ge 0$。两边平方并移项，得到隐式方程：$x^2 - 2y^2 - 3z^2 + 4 = 0$。令 $G(x, y, z) = x^2 - 2y^2 - 3z^2 + 4 = 0$。
公式：G(x, y, z) = x^2 - 2y^2 - 3z^2 + 4 = 0
提示：注意平方后 $x$ 的非负性，这将在后续选择切点时用到。
步骤 2/7
目标：求曲面的法向量
对 $G(x, y, z)$ 求梯度，得到曲面上任意点 $(x_0, y_0, z_0)$ 处的法向量：$\nabla G = (2x, -4y, -6z)$，因此法向量为 $\mathbf{n} = (2x_0, -4y_0, -6z_0)$。
公式：\mathbf{n} = (2x_0, -4y_0, -6z_0)
提示：梯度是曲面法向量的方向，注意符号。
步骤 3/7
目标：确定直线的方向向量
直线方程为 $\frac{x-2}{1} = \frac{y-3}{2} = \frac{z}{3}$，其方向向量为 $\mathbf{v} = (1, 2, 3)$。
公式：\mathbf{v} = (1, 2, 3)
提示：直线对称式方程中分母即为方向向量的分量。
步骤 4/7
目标：利用垂直条件建立关系式
切平面垂直于直线，意味着切平面的法向量 $\mathbf{n}$ 与直线的方向向量 $\mathbf{v}$ 平行，即存在非零常数 $k$ 使得 $(2x_0, -4y_0, -6z_0) = k(1, 2, 3)$。由此得到方程组：$2x_0 = k$，$-4y_0 = 2k$，$-6z_0 = 3k$。
公式：(2x_0, -4y_0, -6z_0) = k(1, 2, 3)
提示：注意平行关系，不要误用为垂直。
步骤 5/7
目标：求解切点坐标的关系
由 $2x_0 = k$ 得 $k = 2x_0$。代入 $-4y_0 = 2k$ 得 $-4y_0 = 4x_0$，即 $y_0 = -x_0$。代入 $-6z_0 = 3k$ 得 $-6z_0 = 6x_0$，即 $z_0 = -x_0$。
公式：y_0 = -x_0, \quad z_0 = -x_0
提示：注意解方程时的符号处理。
步骤 6/7
目标：代入曲面方程求具体切点
将 $y_0 = -x_0$，$z_0 = -x_0$ 代入隐式方程 $x_0^2 - 2y_0^2 - 3z_0^2 + 4 = 0$，得 $x_0^2 - 2x_0^2 - 3x_0^2 + 4 = 0$，即 $-4x_0^2 + 4 = 0$，解得 $x_0^2 = 1$，$x_0 = \pm 1$。由于原曲面中 $x = \sqrt{2y^2+3z^2-4} \ge 0$，故取 $x_0 = 1$，进而 $y_0 = -1$，$z_0 = -1$。切点为 $(1, -1, -1)$。
公式：x_0 = 1, \quad y_0 = -1, \quad z_0 = -1
提示：不要遗漏 $x \ge 0$ 的条件，否则会多出一个无效点。
步骤 7/7
目标：写出切平面方程
法向量取 $\mathbf{n} = (2x_0, -4y_0, -6z_0) = (2, 4, 6)$，可约去公因子2得 $(1, 2, 3)$。切平面方程为 $1 \cdot (x - 1) + 2 \cdot (y + 1) + 3 \cdot (z + 1) = 0$。化简得 $x - 1 + 2y + 2 + 3z + 3 = 0$，即 $x + 2y + 3z + 4 = 0$。
公式：x + 2y + 3z + 4 = 0
提示：法向量可以约去公因子简化计算，但注意不要改变方向。
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