湖南师范大学 2026年数学分析第0题

已知 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续。要证明 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致连续，即：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对任意 $x_1, x_2 \in [a,b]$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta$，就有 $|f(x_1)-f(x_2)| < \varepsilon$。

对任意给定的 $\varepsilon > 0$，由于 $f$ 在每一点 $x_0 \in [a,b]$ 连续，存在 $\delta_{x_0} > 0$（依赖于 $x_0$ 和 $\varepsilon$），使得当 $|x - x_0| < \delta_{x_0}$ 且 $x \in [a,b]$ 时，有 $|f(x) - f(x_0)| < \frac{\varepsilon}{2}$。

对每个 $x_0 \in [a,b]$，构造开区间 $I_{x_0} = \left( x_0 - \frac{\delta_{x_0}}{2},\; x_0 + \frac{\delta_{x_0}}{2} \right)$。这些开区间的全体 $\{ I_{x_0} : x_0 \in [a,b] \}$ 覆盖了闭区间 $[a,b]$。由有限覆盖定理（Heine-Borel定理），存在有限个开区间 $I_{x_1}, I_{x_2}, \dots, I_{x_n}$ 仍然覆盖 $[a,b]$。

取 $\delta = \min\left\{ \frac{\delta_{x_1}}{2}, \frac{\delta_{x_2}}{2}, \dots, \frac{\delta_{x_n}}{2} \right\} > 0$。由于是有限个正数的最小值，$\delta$ 是正数且不依赖于具体点的位置。

任取 $u, v \in [a,b]$ 满足 $|u - v| < \delta$。由于有限个开区间覆盖 $[a,b]$，存在某个 $k$ 使得 $u \in I_{x_k}$，即 $|u - x_k| < \frac{\delta_{x_k}}{2}$。又因为 $|u - v| < \delta \le \frac{\delta_{x_k}}{2}$，由三角不等式得 $|v - x_k| \le |v - u| + |u - x_k| < \frac{\delta_{x_k}}{2} + \frac{\delta_{x_k}}{2} = \delta_{x_k}$。于是 $u$ 和 $v$ 都在 $x_k$ 的 $\delta_{x_k}$ 邻域内，由连续性有 $|f(u)-f(x_k)| < \frac{\varepsilon}{2}$，$|f(v)-f(x_k)| < \frac{\varepsilon}{2}$。从而 $|f(u)-f(v)| \le |f(u)-f(x_k)| + |f(x_k)-f(v)| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$。