湖南师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
1．设函数 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $g^{\prime}(x) \neq 0$ ，证明：存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得
$$
\frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)}=\frac{f(\xi)-f(a)}{g(b)-g(\xi)}
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解条件和目标
已知函数 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $g'(x) \neq 0$ 对所有 $x \in (a, b)$ 成立。要证明存在 $\xi \in (a, b)$ 使得 $$\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(\xi)-f(a)}{g(b)-g(\xi)}.$$ 将等式改写为 $f'(\xi)[g(b)-g(\xi)] = g'(\xi)[f(\xi)-f(a)]$，这提示我们构造辅助函数应用罗尔定理。
公式：\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(\xi)-f(a)}{g(b)-g(\xi)}
提示：注意等式两边分母不为零的条件：$g'(x) \neq 0$ 且 $g(b) \neq g(\xi)$，后者由 $g$ 严格单调保证。
步骤 2/5
目标：构造辅助函数
考虑将目标等式移项：$f'(\xi)[g(b)-g(\xi)] - g'(\xi)[f(\xi)-f(a)] = 0$。构造辅助函数 $F(x) = [f(x)-f(a)][g(b)-g(x)]$，则其导数为 $$F'(x) = f'(x)[g(b)-g(x)] - g'(x)[f(x)-f(a)],$$ 恰好是所需形式。
公式：F(x) = [f(x)-f(a)][g(b)-g(x)]
提示：辅助函数的构造是本题关键，注意求导时使用乘积法则，并正确处理负号。
步骤 3/5
目标：检查端点值
计算 $F(x)$ 在区间端点 $x=a$ 和 $x=b$ 处的值：$$F(a) = [f(a)-f(a)][g(b)-g(a)] = 0 \cdot [g(b)-g(a)] = 0,$$ $$F(b) = [f(b)-f(a)][g(b)-g(b)] = [f(b)-f(a)] \cdot 0 = 0.$$ 因此 $F(a) = F(b) = 0$。
公式：F(a)=0, F(b)=0
提示：端点值相等是应用罗尔定理的前提，注意 $g(b)-g(b)=0$ 和 $f(a)-f(a)=0$ 的简单运算。
步骤 4/5
目标：应用罗尔定理
由于 $f, g$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，则 $F(x)$ 也在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $F(a)=F(b)$。由罗尔定理，存在 $\xi \in (a, b)$ 使得 $F'(\xi)=0$，即 $$f'(\xi)[g(b)-g(\xi)] - g'(\xi)[f(\xi)-f(a)] = 0.$$
公式：F'(\xi)=0 \Rightarrow f'(\xi)[g(b)-g(\xi)] = g'(\xi)[f(\xi)-f(a)]
提示：罗尔定理要求函数在闭区间连续、开区间可导且端点值相等，这里全部满足。
步骤 5/5
目标：整理得到结论
由 $F'(\xi)=0$ 得 $f'(\xi)[g(b)-g(\xi)] = g'(\xi)[f(\xi)-f(a)]$。由于 $g'(x) \neq 0$ 对所有 $x \in (a,b)$ 成立，且 $g$ 严格单调，故 $g(b)-g(\xi) \neq 0$（因为 $\xi \neq b$）。两边同时除以 $g'(\xi)[g(b)-g(\xi)]$，得 $$\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(\xi)-f(a)}{g(b)-g(\xi)}.$$ 证明完成。
公式：\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(\xi)-f(a)}{g(b)-g(\xi)}
提示：确保分母不为零：$g'(\xi) \neq 0$ 由已知条件保证，$g(b)-g(\xi) \neq 0$ 由 $g$ 严格单调（因导数恒不为零）保证。
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