湖南师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
3．设函数 $\displaystyle I(\alpha)=\int_{0}^{1} \frac{\ln (1+\alpha x)}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x(\alpha \geq 0)$ ，求 $I(1)$ 的值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确问题并引入参数微分法
已知 $I(\alpha)=\int_{0}^{1} \frac{\ln (1+\alpha x)}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$，$\alpha \geq 0$。需要求 $I(1)=\int_{0}^{1} \frac{\ln(1+x)}{1+x^2} \mathrm{~d} x$。直接积分困难，考虑对参数 $\alpha$ 求导，利用莱布尼茨法则。
公式：$I(1)=\int_{0}^{1} \frac{\ln(1+x)}{1+x^2} \mathrm{~d} x$
提示：注意积分区间有限且被积函数光滑，求导与积分可交换顺序。
步骤 2/5
目标：对参数求导并化简被积函数
对 $I(\alpha)$ 关于 $\alpha$ 求导：
$I'(\alpha)=\int_{0}^{1} \frac{\partial}{\partial \alpha} \frac{\ln(1+\alpha x)}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x = \int_{0}^{1} \frac{x}{(1+\alpha x)(1+x^{2})} \mathrm{~d} x$。
将被积函数分解为部分分式：设 $\frac{x}{(1+\alpha x)(1+x^{2})} = \frac{A}{1+\alpha x} + \frac{Bx+C}{1+x^{2}}$，解得 $A=-\frac{\alpha}{1+\alpha^{2}}, B=\frac{1}{1+\alpha^{2}}, C=\frac{\alpha}{1+\alpha^{2}}$。
公式：$I'(\alpha)=\int_{0}^{1} \frac{x}{(1+\alpha x)(1+x^{2})} \mathrm{~d} x$
提示：部分分式分解时注意比较系数，$\alpha>0$ 时可直接求解，$\alpha=0$ 不影响后续积分。
步骤 3/5
目标：计算 I'(α) 的积分表达式
将分解结果代入积分：
$I'(\alpha)=\int_{0}^{1} \left[-\frac{\alpha}{1+\alpha^{2}} \cdot \frac{1}{1+\alpha x} + \frac{1}{1+\alpha^{2}} \cdot \frac{x}{1+x^{2}} + \frac{\alpha}{1+\alpha^{2}} \cdot \frac{1}{1+x^{2}} \right] \mathrm{d} x$。
分别积分：
$\int_{0}^{1} \frac{1}{1+\alpha x} \mathrm{~d} x = \frac{1}{\alpha} \ln(1+\alpha)$，
$\int_{0}^{1} \frac{x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x = \frac{1}{2} \ln 2$，
$\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x = \frac{\pi}{4}$。
因此 $I'(\alpha) = -\frac{\ln(1+\alpha)}{1+\alpha^{2}} + \frac{\ln 2}{2(1+\alpha^{2})} + \frac{\alpha \pi}{4(1+\alpha^{2})}$。
公式：$I'(\alpha) = -\frac{\ln(1+\alpha)}{1+\alpha^{2}} + \frac{\ln 2}{2(1+\alpha^{2})} + \frac{\alpha \pi}{4(1+\alpha^{2})}$
提示：注意第一项积分时 $\alpha$ 在分母，但 $\alpha=0$ 时需单独处理，此处 $\alpha>0$ 不影响后续积分。
步骤 4/5
目标：从 I(0) 积分到 I(1) 建立方程
已知 $I(0)=0$，则 $I(1)=\int_{0}^{1} I'(\alpha) \mathrm{~d} \alpha$。代入 $I'(\alpha)$ 得：
$I(1)=\int_{0}^{1} \left[-\frac{\ln(1+\alpha)}{1+\alpha^{2}} + \frac{\ln 2}{2(1+\alpha^{2})} + \frac{\alpha \pi}{4(1+\alpha^{2})} \right] \mathrm{d} \alpha$。
注意到第一项积分 $\int_{0}^{1} \frac{\ln(1+\alpha)}{1+\alpha^{2}} \mathrm{~d} \alpha = I(1)$，因此 $I(1) = -I(1) + \frac{\ln 2}{2} \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d} \alpha}{1+\alpha^{2}} + \frac{\pi}{4} \int_{0}^{1} \frac{\alpha}{1+\alpha^{2}} \mathrm{~d} \alpha$。
公式：$I(1) = -I(1) + \frac{\ln 2}{2} \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d} \alpha}{1+\alpha^{2}} + \frac{\pi}{4} \int_{0}^{1} \frac{\alpha}{1+\alpha^{2}} \mathrm{~d} \alpha$
提示：注意第一项积分与 $I(1)$ 形式相同，这是建立自指方程的关键。
步骤 5/5
目标：计算剩余积分并求解 I(1)
计算两个简单积分：
$\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d} \alpha}{1+\alpha^{2}} = \arctan \alpha \big|_{0}^{1} = \frac{\pi}{4}$，
$\int_{0}^{1} \frac{\alpha}{1+\alpha^{2}} \mathrm{~d} \alpha = \frac{1}{2} \ln(1+\alpha^{2}) \big|_{0}^{1} = \frac{1}{2} \ln 2$。
代入得：$I(1) = -I(1) + \frac{\ln 2}{2} \cdot \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} \cdot \frac{1}{2} \ln 2 = -I(1) + \frac{\pi \ln 2}{4}$。
移项得 $2I(1) = \frac{\pi \ln 2}{4}$，所以 $I(1) = \frac{\pi \ln 2}{8}$。
公式：$I(1) = \frac{\pi \ln 2}{8}$
提示：计算 $\int_{0}^{1} \frac{\alpha}{1+\alpha^{2}} \mathrm{~d} \alpha$ 时注意使用换元法，避免符号错误。
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