湖南师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
7．设 $p>0$ ，广义积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}+\sin x} \mathrm{~d} x$ 条件收玫，则实数 $p$ 满足的条件是 $\_\_\_\_$ ．
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析被积函数在 x→0⁺ 时的渐近行为
当 $x \to 0^+$ 时，$\sin x \sim x$，分母 $x^p + \sin x \sim x^p + x$。因此被积函数渐近等价于 $\frac{x}{x^p + x}$。
- 若 $p > 1$，则 $x^p \ll x$，分母 $\sim x$，函数 $\sim 1$，积分 $\int_0 \mathrm{d}x$ 发散。
- 若 $p = 1$，分母 $\sim 2x$，函数 $\sim \frac{1}{2}$，同样发散。
- 若 $0 < p < 1$，则 $x \ll x^p$，分母 $\sim x^p$，函数 $\sim x^{1-p}$，积分 $\int_0 x^{1-p} \mathrm{d}x$ 收敛当且仅当 $1-p > -1$，即 $p < 2$，自动满足。
因此，在 $x=0$ 附近收敛要求 $p < 1$。
公式：\frac{\sin x}{x^p + \sin x} \sim \begin{cases} 1, & p>1 \\ \frac{1}{2}, & p=1 \\ x^{1-p}, & 0
提示：注意区分 $p>1$ 和 $0
步骤 2/6
目标：分析被积函数在 x→+∞ 时的渐近展开
当 $x \to +\infty$ 时，$x^p$ 占主导，$\sin x$ 有界。将函数改写为：
\[
\frac{\sin x}{x^p + \sin x} = \frac{\sin x}{x^p} \cdot \frac{1}{1 + \frac{\sin x}{x^p}}
\]
由于 $\frac{\sin x}{x^p} \to 0$，利用展开 $\frac{1}{1+u} = 1 - u + O(u^2)$，得：
\[
\frac{\sin x}{x^p + \sin x} = \frac{\sin x}{x^p} - \frac{\sin^2 x}{x^{2p}} + O\left(\frac{1}{x^{3p}}\right)
\]
公式：\frac{\sin x}{x^p + \sin x} = \frac{\sin x}{x^p} - \frac{\sin^2 x}{x^{2p}} + O(x^{-3p}), \quad x \to +\infty
提示：展开时注意 $\frac{\sin x}{x^p}$ 是无穷小量，但 $\sin^2 x$ 不能简单忽略，因为它包含常数项。
步骤 3/6
目标：逐项分析无穷远处积分的收敛性（第一项）
考虑第一项 $\int^{\infty} \frac{\sin x}{x^p} \mathrm{d}x$。
- 由 Dirichlet 判别法：$\sin x$ 的原函数 $\cos x$ 有界，$\frac{1}{x^p}$ 在 $x\to+\infty$ 时单调趋于 $0$ 当且仅当 $p>0$。因此该积分对 $p>0$ 条件收敛。
- 绝对收敛性：$\left|\frac{\sin x}{x^p}\right| \sim \frac{|\sin x|}{x^p}$，由于 $|\sin x|$ 的平均值为 $\frac{2}{\pi}$，$\int^{\infty} \frac{1}{x^p} \mathrm{d}x$ 发散当 $p \le 1$，故该积分当 $01$ 时绝对收敛。
公式：\int^{\infty} \frac{\sin x}{x^p} \mathrm{d}x \quad \text{收敛当且仅当 } p>0 \text{（条件收敛当 } 0
提示：Dirichlet 判别法要求单调趋于 0，$p>0$ 保证单调性；$p\le 0$ 时 $1/x^p$ 不趋于 0。
步骤 4/6
目标：逐项分析无穷远处积分的收敛性（第二项）
考虑第二项 $\int^{\infty} \frac{\sin^2 x}{x^{2p}} \mathrm{d}x$。利用恒等式 $\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$：
\[
\int^{\infty} \frac{\sin^2 x}{x^{2p}} \mathrm{d}x = \frac12 \int^{\infty} \frac{1}{x^{2p}} \mathrm{d}x - \frac12 \int^{\infty} \frac{\cos 2x}{x^{2p}} \mathrm{d}x
\]
- 第一项 $\int^{\infty} \frac{1}{x^{2p}} \mathrm{d}x$ 收敛当且仅当 $2p > 1$，即 $p > \frac12$。
- 第二项由 Dirichlet 判别法，对 $p>0$ 收敛。
因此，第二项的积分绝对收敛当 $p > \frac12$；当 $0 < p \le \frac12$ 时，该项发散（且为负值）。
公式：\int^{\infty} \frac{\sin^2 x}{x^{2p}} \mathrm{d}x \quad \text{收敛当且仅当 } p > \frac12
提示：注意 $\frac{\sin^2 x}{x^{2p}}$ 非负，其发散性由 $\frac{1}{x^{2p}}$ 项决定，$\cos 2x$ 项不影响发散性。
步骤 5/6
目标：综合无穷远条件，确定整体收敛性
原积分在无穷远处的行为由展开式的前两项决定：
\[
\int^{\infty} \frac{\sin x}{x^p + \sin x} \mathrm{d}x = \int^{\infty} \frac{\sin x}{x^p} \mathrm{d}x - \int^{\infty} \frac{\sin^2 x}{x^{2p}} \mathrm{d}x + \text{收敛的余项}
\]
- 第一项对 $p>0$ 收敛（条件收敛）。
- 第二项当 $p > \frac12$ 时收敛，当 $0 < p \le \frac12$ 时发散（负无穷大）。
- 若 $0 < p \le \frac12$，则第二项发散且主导，导致整个积分发散。
因此，无穷远处积分收敛的必要条件是 $p > \frac12$。
公式：\int^{\infty} \frac{\sin x}{x^p + \sin x} \mathrm{d}x \text{ 收敛 } \Rightarrow p > \frac12
提示：注意第二项是负的，其发散会导致整体发散，不能仅靠第一项收敛就判定整体收敛。
步骤 6/6
目标：结合 x→0⁺ 条件，确定 p 的范围并验证条件收敛
综合两点：
- $x \to 0^+$ 收敛要求 $p < 1$。
- $x \to +\infty$ 收敛要求 $p > \frac12$。
- 已知 $p > 0$。
故 $p$ 的取值范围为 $\frac12 < p < 1$。
验证条件收敛：
- 积分本身收敛（由上述分析）。
- 绝对收敛性：$\left| \frac{\sin x}{x^p + \sin x} \right| \sim \frac{|\sin x|}{x^p}$ 在 $x\to+\infty$ 时，其积分发散因为 $p \le 1$（$p<1$ 时 $\int^{\infty} \frac{1}{x^p} \mathrm{d}x$ 发散），故绝对发散。
因此，积分条件收敛当且仅当 $\frac12 < p < 1$。
公式：\boxed{\frac12 < p < 1}
提示：条件收敛要求积分本身收敛但绝对值发散，这里 $p<1$ 保证绝对值发散，$p>1/2$ 保证积分收敛，缺一不可。
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